数列の極限に関する問題

■問題

数列

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}},\text{\hspace{1} }{ $ \frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ }^{2},\text{\hspace{1} }{ $ \frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ }^{3},\text{\hspace{1} }\cdot \cdot \cdot ,\text{\hspace{1} }{ $ \frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ }^{n},\text{\hspace{1} }\cdot \cdot \cdot \text{\hspace{1} }}$

すなわち第 $3$\displaystyle{n\text{\hspace{1} }}$ 項

$3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{n}={ $ \frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ }^{n}\text{\hspace{1} }}$

となる数列の極限値

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\hspace{1}{a}_{n}={ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }{ $ \frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ }^{n}}$

を求めよ．

■答

$3$\displaystyle{\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }{ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\hspace{1}{a}_{n}={ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }{ $ \frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ }^{n}=\infty\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }}$

■ヒント

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}> 1}$ であること．

■解き方

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }{ $ \frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ }^{n}}$

において

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}> 1 }$

であるから， $3${x}^{n}$ 極限より $3$\displaystyle{n\rightarrow \infty\text{\hspace{1} }}$ ならば， $3$\displaystyle{\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }{ $ \frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ }^{n}\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }}$ は正の無限大に発散する．
したがって

$3$\displaystyle{\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }{ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }{ $ \frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ }^{n}=\infty\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }}$

ホーム>>カテゴリー分類>>数列>>問題演習>>数列の極限に関する問題

学生スタッフ作成
最終更新日： 2024年5月28日