数列の極限に関する問題

■問題

数列

$3$\displaystyle{ $ 3+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 1+3 \hspace{2}} $ $ 2+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ }$ $3$\displaystyle{, $ 3+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2+3 \hspace{2}} $ $ 2+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} $ }$ $3$\displaystyle{, $ 3+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 3+3 \hspace{2}} $ $ 2+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}} $ }$ $3$\displaystyle{,\cdot \cdot \cdot , $ 3+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} n+3 \hspace{2}} $ $ 2+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2n \hspace{2}} $ }$ $3$\displaystyle{,\cdot \cdot \cdot }$

すなわち，第 $3$\displaystyle{n}$ 項

$3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{n}= $ 3+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} n+3 \hspace{2}} $ $ 2+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2n \hspace{2}} $ }$

となる数列の極限値

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\hspace{1}{a}_{n}}$ $3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty } $ 3+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} n+3 \hspace{2}} $ $ 2+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2n \hspace{2}} $ }$

を求めよ．

■答

■ヒント

$3$\displaystyle{n}$ が含まれていない項は一定であるから, $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} n+3 \hspace{2}},\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2n \hspace{2}}}$ の $3$\displaystyle{n}$ が $3$\displaystyle{\infty}$ になったときの値を調べれば良い．

■解き方

$3$\displaystyle{ \[ 1 \] }$ $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} n+3 \hspace{2}}}$

分子は一定 $3$\displaystyle{ $ =1 $ }$ で， $3$\displaystyle{n}$ が大きくなると分母 $3$\displaystyle{n+3}$ は大きくなることより

$3$\displaystyle{n\rightarrow \infty}$ ならば， $3$\displaystyle{1 n+3 }$ は $3$\displaystyle{0}$ に収束する

$3$\displaystyle{ \[2\] }$ $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2n \hspace{2}}}$

分子は一定 $3$\displaystyle{ $ =1 $ }$ で， $3$\displaystyle{n}$ が大きくなると分母 $3$\displaystyle{2n}$ は大きくなることより

$3$\displaystyle{n\rightarrow \infty}$ ならば， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2n \hspace{2}}}$ は $3$\displaystyle{0}$ に収束する．

$3$\displaystyle{ \[1\] , \[2\] }$ より

$3$\displaystyle{ { \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty } $ 3+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} n+3 \hspace{2}} $ $ 2+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2n \hspace{2}} $ }$ $3$\displaystyle{ = $ 3+0 $ $ 2+0 $ }$ $3$\displaystyle{ =3\times 2 }$ $3$\displaystyle{ =6 }$

よって，与式は $3$\displaystyle{ 6 }$ に収束する．

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2024年5月28日