数列の極限に関する問題

■問題

数列

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}+2 \hspace{2}}{\hspace{2} \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}- 4 \hspace{2}},\frac{\hspace{2} { $ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ }^{2}+2 \hspace{2}}{\hspace{2} { $ \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} $ }^{2}- 4 \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{,\frac{\hspace{2} { $ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ }^{3}+2 \hspace{2}}{\hspace{2} { $ \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} $ }^{3}- 4 \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{,\cdot \cdot \cdot ,\frac{\hspace{2} { $ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ }^{n}+2 \hspace{2}}{\hspace{2} { $ \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} $ }^{n}- 4 \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{,\cdot \cdot \cdot }$

の数列，すなわち第 $3$\displaystyle{n}$ 項

$3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{n}=\frac{\hspace{2} { $ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ }^{n}+2 \hspace{2}}{\hspace{2} { $ \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} $ }^{n}- 4 \hspace{2}}}$

となるの極限値

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\hspace{1}{a}_{n}={ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\frac{\hspace{2} { $ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ }^{n}+2 \hspace{2}}{\hspace{2} { $ \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} $ }^{n}- 4 \hspace{2}}}$

を求めよ．

■答

■ヒント

$3$\displaystyle{n}$ が含まれていない項は一定であるから， $3$\displaystyle{{ $ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ }^{n},{ $ \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} $ }^{n}}$ の $3$\displaystyle{n}$ が $3$\displaystyle{\infty}$ になったときの値を調べれば良い．

■解き方

$3$\displaystyle{ \[ 1 \] }$ $3$\displaystyle{{ $ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ }^{n}}$

$3$\displaystyle{- 1< - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}< 1}$ より

$3$\displaystyle{n\rightarrow \infty}$ ならば， $3$\displaystyle{{ $ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ }^{n}}$ は $3$\displaystyle{0}$ に収束する

$3$\displaystyle{ \[ 2 \] }$ $3$\displaystyle{{ $ \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} $ }^{n}}$

$3$\displaystyle{- 1< \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}< 1}$ より

$3$\displaystyle{n\rightarrow \infty}$ ならば， $3$\displaystyle{{ $ \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} $ }^{n}}$ は $3$\displaystyle{0}$ に収束する

$3$\displaystyle{ \[1\] , \[2\] }$ より

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\frac{\hspace{2} { $ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ }^{n}+2 \hspace{2}}{\hspace{2} { $ \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} $ }^{n}- 4 \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} 0+2 \hspace{2}}{\hspace{2} 0- 4 \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

よって，与式は $3$\displaystyle{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }$ に収束する．

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最終更新日： 2024年5月28日