数列の極限に関する問題

■問題

数列

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} 2- 6 \hspace{2}}{\hspace{2} 1+8 \hspace{2}},\frac{\hspace{2} 16- 6 \hspace{2}}{\hspace{2} 2+8 \hspace{2}},\frac{\hspace{2} 54- 6 \hspace{2}}{\hspace{2} 3+8 \hspace{2}},\cdot \cdot \cdot }$ $3$\displaystyle{,\frac{\hspace{2} 2{n}^{3}- 6 \hspace{2}}{\hspace{2} n+8 \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{,\cdot \cdot \cdot }$

の，すなわち第 $3$\displaystyle{n}$ 項

$3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{n}=\frac{\hspace{2} 2{n}^{3}- 6 \hspace{2}}{\hspace{2} n+8 \hspace{2}}}$

となる数列の極限値

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\hspace{1}{a}_{n}={ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\frac{\hspace{2} 2{n}^{3}- 6 \hspace{2}}{\hspace{2} n+8 \hspace{2}}}$

を求めよ．

■答

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\hspace{1}{a}_{n}={ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\frac{\hspace{2} 2{n}^{3}- 6 \hspace{2}}{\hspace{2} n+8 \hspace{2}}=\infty}$

■ヒント

直接 $3$\displaystyle{n\rightarrow \infty}$ とすると， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}\infty\hspace{2}}{\hspace{2}\infty\hspace{2}}}$ の形になる．従って，分母の変数の中で最も次数の高いもので分子・分母を割る．

式を変形した後， $3$\displaystyle{n}$ が含まれている項のみ， $3$\displaystyle{n}$ が $3$\displaystyle{\infty}$ になったときの値を調べる．

最後に，式全体で収束・発散を判断する．

■解き方

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\frac{\hspace{2} 2{n}^{3}- 6 \hspace{2}}{\hspace{2} n+8 \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\frac{\hspace{2} 2{n}^{2}- \frac{\hspace{2}6\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}} \hspace{2}}{\hspace{2} 1+\frac{\hspace{2}8\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}} \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{n}$ が含まれていない項は一定であるから， $3$\displaystyle{2{n}^{2},\frac{\hspace{2}6\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}},\frac{\hspace{2}8\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}}$ の $3$\displaystyle{n}$ が $3$\displaystyle{\infty}$ になったときの値を調べれば良い．

$3$\displaystyle{ \[ 1 \] }$ $3$\displaystyle{2{n}^{2}}$

$3$\displaystyle{n\rightarrow \infty}$ ならば， $3$\displaystyle{2{n}^{2}}$ は正の無限大に発散する．

$3$\displaystyle{ \[ 2 \] }$ $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}6\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{n\rightarrow \infty}$ ならば， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}6\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}}$ は $3$\displaystyle{0}$ に収束する．

$3$\displaystyle{ \[ 3 \] }$ $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}8\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{n\rightarrow \infty}$ ならば， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}8\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}}$ は $3$\displaystyle{0}$ に収束する．

$3$\displaystyle{ \[1\] , \[2\] , \[3\] }$ より

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\frac{\hspace{2} 2{n}^{3}- 6 \hspace{2}}{\hspace{2} n+8 \hspace{2}}={ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\frac{\hspace{2} 2{n}^{2}- \frac{\hspace{2}6\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}} \hspace{2}}{\hspace{2} 1+\frac{\hspace{2}8\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}} \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} \infty- 0 \hspace{2}}{\hspace{2} 1+0 \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\infty}$

よって，与式は正の無限大に発散する．

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最終更新日： 2024年5月28日