数列の極限に関する問題

■問題

数列

$3$\displaystyle{ \sqrt{1} $ \sqrt{ 1+2 }- \sqrt{1} $ , }$ $3$\displaystyle{ \sqrt{2} $ \sqrt{ 2+2 }- \sqrt{2} $ , }$ $3$\displaystyle{ \sqrt{3} $ \sqrt{ 3+2 }- \sqrt{3} $ ,\cdot \cdot \cdot , }$ $3$\displaystyle{ \sqrt{n} $ \sqrt{ n+2 }- \sqrt{n} $ ,\cdot \cdot \cdot }$

すなわち第 $3$\displaystyle{n}$ 項

$3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{n}=\sqrt{n} $ \sqrt{ n+2 }- \sqrt{n} $ }$

となる数列の極限値

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\hspace{1}{a}_{n}}$ $3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\sqrt{n} $ \sqrt{ n+2 }- \sqrt{n} $ }$

を求めよ．

■解説動画

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■答

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\hspace{1}{a}_{n}={ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\sqrt{n} $ \sqrt{ n+2 }- \sqrt{n} $ }$ $3$\displaystyle{=1}$

■ヒント

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} \sqrt{ n+2 }+\sqrt{n} \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ n+2 }+\sqrt{n} \hspace{2}} }$ を掛ける．

式を変形した後， $3$\displaystyle{n}$ が含まれている項のみ， $3$\displaystyle{n}$ が $3$\displaystyle{\infty}$ になったときの値を調べる．

最後に，式全体で収束・発散を判断する．

■解き方

直接 $3$\displaystyle{n\rightarrow \infty}$ とすると， $3$\displaystyle{ \infty\left({ \infty- \infty }\right) }$ の形になる．従って， $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} \sqrt{ n+2 }+\sqrt{n} \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ n+2 }+\sqrt{n} \hspace{2}} }$ を掛けて，値が定まらない $3$\displaystyle{ \infty- \infty }$ が消えるように式を変形する．

備考： $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} \sqrt{ n+2 }+\sqrt{n} \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ n+2 }+\sqrt{n} \hspace{2}}=1 }$ より， $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} \sqrt{ n+2 }+\sqrt{n} \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ n+2 }+\sqrt{n} \hspace{2}} }$ を掛けても値はかわらない．

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\sqrt{n} $ \sqrt{ n+2 }- \sqrt{n} $ }$

$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\sqrt{n}\left({ \sqrt{ n+2 }- \sqrt{n} }\right)\frac{\hspace{2} \sqrt{ n+2 }+\sqrt{n} \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ n+2 }+\sqrt{n} \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\frac{\hspace{2} \sqrt{n} $ \sqrt{ n+2 }- \sqrt{n} $ $ \sqrt{ n+2 }+\sqrt{n} $ \hspace{2}}{\hspace{2} $ \sqrt{ n+2 }+\sqrt{n} $ \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\frac{\hspace{2} \sqrt{n} $ n+2- n $ \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ n+2 }+\sqrt{n} \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\frac{\hspace{2} \sqrt{n}\times 2 \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ n+2 }+\sqrt{n} \hspace{2}}}$

分母の変数の中で最も $3$n$ 次数の高い $3$\displaystyle{ \sqrt{n} }$ で，分子・分母を割る．

$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\frac{\hspace{2} \frac{\hspace{2} \sqrt{n}\times 2 \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{n} \hspace{2}} \hspace{2}}{\hspace{2} \frac{\hspace{2} \sqrt{ n+2 }+\sqrt{n} \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{n} \hspace{2}} \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 1+\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}} }+1 \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{n}$ が含まれていない項は一定であるから， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}}$ の $3$\displaystyle{n}$ が $3$\displaystyle{\infty}$ になったときの値を調べれば良い．

$3$\displaystyle{n\rightarrow \infty}$ ならば， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}}$ は $3$\displaystyle{0}$ に収束する．よって

$3$\displaystyle{ { \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\sqrt{n} $ \sqrt{ n+2 }- \sqrt{n} $ }$ $3$\displaystyle{ ={ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 1+\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}} }+1 \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 1+0 }+1 \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{1}+1 \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2} 1+1 \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}=1 }$

よって，与式は $3$\displaystyle{1}$ に収束する．

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最終更新日： 2025年2月21日