重積分の計算問題

■問題

次の重積分の値を求めよ．

$3$\displaystyle{{\int\int }\limits_{D} $ 2x- y $ dxdy }$ 　　 $3$\displaystyle{ $ D:- 3\leq x\leq 3,0\leq y\leq 3 $ }$

■ヒント

領域 $3$\displaystyle{D}$ から変数 $3$\displaystyle{x}$ と変数 $3$\displaystyle{y}$ の積分範囲を決定する．

次に， $3$\displaystyle{x}$ を定数とみなして $3$\displaystyle{y}$ について積分し，その結果を更に $3$\displaystyle{x}$ に関して積分する．

■答

$3$\displaystyle{{\int\int }\limits_{D} $ 2x- y $ dxdy }$

領域 $3$\displaystyle{D}$ よろ変数 $3$x$ と変数 $3$y$ 積分範囲を決定する．

$3$\displaystyle{=\int _{ - 3 }^{3} $ \int _{0}^{3} \( 2x- y $ dy \) dx }$

まず， $3$\displaystyle{ \displaystyle{\int }_{0}^{3}\left({ 2x- y }\right)dy }$ の計算をする． $3$\displaystyle{x}$ を定数とみなして $3$\displaystyle{y}$ について積分する．

$3$\displaystyle{ =\int _{ - 3 }^{3} \[ 2xy- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{y}^{2} \] _{ 0 }^{ 3 }dx }$

$3$\displaystyle{=\int _{ - 3 }^{3} \{ 2x\cdot 3- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\cdot {3}^{2}- $ 2x\cdot 0- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\cdot {0}^{2} $ \} dx }$

$3$\displaystyle{=\int _{ - 3 }^{3} $ 6x- \frac{\hspace{2}9\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}- 0 $ dx }$

$3$\displaystyle{=\int _{ - 3 }^{3} $ 6x- \frac{\hspace{2}9\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ dx }$

積分結果を更に $3$\displaystyle{x}$ で積分する．

$3$\displaystyle{= \[ 3{x}^{2}- \frac{\hspace{2}9\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}x \] _{ - 3 }^{ 3 }}$

$3$\displaystyle{=3\cdot {3}^{2}- \frac{\hspace{2}9\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\cdot 3- \{ 3\cdot { $ - 3 $ }^{2}- \frac{\hspace{2}9\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\cdot $ - 3 $ \} }$

$3$\displaystyle{=27- \frac{\hspace{2} 27 \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}- $ 27+\frac{\hspace{2} 27 \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ }$

$3$\displaystyle{=27- \frac{\hspace{2} 27 \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}- 27- \frac{\hspace{2} 27 \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=- 27}$

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最終更新日： 2023年8月2日