重積分の計算問題

■問題

次の重積分の値を求めよ．

$3$\displaystyle{{\int\int }\limits_{D} x{y}^{2}dxdy }$ 　　 $3$\displaystyle{ $ D:0\leq x\leq 2,- 2\leq y\leq 1 $ }$

■ヒント

領域 $3$\displaystyle{D}$ よろ変数 $3$\displaystyle{x}$ と変数 $3$\displaystyle{y}$ の積分範囲を決定する．

次に， $3$\displaystyle{x}$ を定数とみなして $3$\displaystyle{y}$ について積分し，その結果を更に $3$\displaystyle{x}$ に関して積分する．

■答

$3$\displaystyle{{\int\int }\limits_{D} x{y}^{2}dxdy }$

領域 $3$\displaystyle{D}$ より変数 $3$x$ と変数 $3$y$ 積分範囲を決定する．

$3$\displaystyle{ =\displaystyle{\int }_{0}^{2}\left({ \displaystyle{\int }_{ - 2 }^{1}x{y}^{2}dy }\right)dx }$

まず， $3$\displaystyle{ \displaystyle{\int }_{ - 2 }^{1}x{y}^{2}dy }$ の計算をする． $3$\displaystyle{x}$ を定数とみなして $3$\displaystyle{y}$ について積分する．

$3$\displaystyle{=\int _{0}^{2} \[ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}x{y}^{3} \] _{ - 2 }^{ 1 }dx }$

$3$\displaystyle{=\int _{0}^{2} \{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}x\cdot {1}^{2}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}x\cdot { $ - 2 $ }^{3} \} dx }$

$3$\displaystyle{=\int _{0}^{2} \{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}x- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}x\cdot $ - 8 $ \} dx }$

$3$\displaystyle{=\int _{0}^{2} \{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}x+\frac{\hspace{2}8\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}x \} dx }$

$3$\displaystyle{=\int _{0}^{2} \frac{\hspace{2}9\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}xdx }$

$3$\displaystyle{=\int _{0}^{2} 3xdx }$

積分結果を更に $3$\displaystyle{x}$ で積分する．

$3$\displaystyle{= \[ \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{x}^{2} \] _{ 0 }^{ 2 }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\cdot {2}^{2}- \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\cdot {0}^{2}}$

$3$\displaystyle{=6- 0}$

$3$\displaystyle{=6}$

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学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年8月2日