重積分の計算問題

■問題

次の重積分の値を求めよ．

$3$\displaystyle{{\int\int }\limits_{D} xydxdy }$ 　　 $3$\displaystyle{ $ \text{\hspace{1} }D\text{\hspace{1} }:\text{\hspace{1} }2x+\frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\leq 1\text{\hspace{1} },\text{\hspace{1} }x\geq 0\text{\hspace{1} },\text{\hspace{1} }y\geq 0\text{\hspace{1} } $ }$

■答

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 24 \hspace{2}}}$

■ヒント

領域 $3$\displaystyle{D}$ より変数 $3$\displaystyle{x}$ と変数 $3$\displaystyle{y}$ の積分範囲を決定する．

次に， $3$\displaystyle{x\text{\hspace{1} }}$ を定数とみなして $3$\displaystyle{y\text{\hspace{1} }}$ について積分し，その結果を更に $3$\displaystyle{x\text{\hspace{1} }}$ で積分する．

■解説

領域 $3$\displaystyle{D}$ より

$3$\displaystyle{2x+\frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{\leq 1}$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\text{\hspace{1} }}$ $3$\displaystyle{\leq - 2x+1}$

$3$\displaystyle{y\text{\hspace{1} }}$ $3$\displaystyle{\leq - 4x+2}$

$3$\displaystyle{ y\geq 0\text{\hspace{1} } }$ を考慮すると

$3$\displaystyle{0\leq y\leq - 4x+2}$

これを満たす $3$\displaystyle{x}$ の条件は

$3$\displaystyle{- 4x+2}$ $3$\displaystyle{\geq 0}$

$3$\displaystyle{- 4x\text{\hspace{1} }}$ $3$\displaystyle{\geq - 2}$

$3$\displaystyle{x\text{\hspace{1} }}$ $3$\displaystyle{\leq \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{ x\geq 0\text{\hspace{1} } }$ を考慮すると

$3$\displaystyle{0\leq x\leq \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

以上から領域 $3$\displaystyle{D}$ は

$3$\displaystyle{D\text{\hspace{1} }:\text{\hspace{1} }0\leq x\leq \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\text{\hspace{1} },\text{\hspace{1} }0\leq y\leq - 4x+2}$

と書き換えられる．よって

$3$\displaystyle{{\int\int }\limits_{D} xydxdy }$

$3$\displaystyle{=\int _{0}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} } $ \int _{0}^{ - 4x+2 } xydy $ dx }$

まず， $3$\displaystyle{ \displaystyle{\int }_{0}^{ - 4x+2 }xydy }$ を計算する． $3$\displaystyle{x}$ を定数とみなして $3$\displaystyle{y}$ について積分する．

$3$\displaystyle{=\int _{0}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} } \[ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}x{y}^{2} \] _{ \text{\hspace{1} }0 }^{ \text{\hspace{1} }- 4x+2 }dx }$

$3$\displaystyle{=\int _{0}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} } \{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}x{ $ - 4x+2 $ }^{2}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}x\text{\hspace{1} }\cdot \text{\hspace{1} }{0}^{2} \} dx }$

$3$\displaystyle{=\int _{0}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} } \{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}x $ 16{x}^{2}- 16x+4 $ - 0 \} dx }$

$3$\displaystyle{=\int _{0}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} } $ 8{x}^{3}- 8{x}^{2}+2x $ dx }$

積分結果を更に $3$\displaystyle{x}$ で積分する．

$3$\displaystyle{= \[ 2{x}^{4}- \frac{\hspace{2}8\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{x}^{3}+{x}^{2} \] _{ \text{\hspace{1} }0 }^{ \text{\hspace{1} }\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }}$

$3$\displaystyle{=2\text{\hspace{1} }\cdot \text{\hspace{1} }{ $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ }^{4}- \frac{\hspace{2}8\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\text{\hspace{1} }\cdot \text{\hspace{1} }{ $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ }^{3}+{ $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ }^{2}}$ $3$\displaystyle{- $ 2\text{\hspace{1} }\cdot \text{\hspace{1} }{0}^{4}+\frac{\hspace{2}8\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\text{\hspace{1} }\cdot \text{\hspace{1} }{0}^{3}+{0}^{2} $ }$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}8\hspace{2}}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}- 0}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} 3- 8+6 \hspace{2}}{\hspace{2} 24 \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 24 \hspace{2}}}$

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最終更新日： 2023年8月3日