重積分の計算問題

■問題

次の重積分の値を求めよ．

$3$\displaystyle{{\int\int }\limits_{D} $ x+2 $ dxdy }$ 　　 $3$\displaystyle{ $ \text{\hspace{1} }D\text{\hspace{1} }:\text{\hspace{1} }- 1\leq x\leq 1\text{\hspace{1} },\text{\hspace{1} }0\leq y\leq {x}^{2}+1\text{\hspace{1} } $ }$

■答

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} 16 \hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}}$

■ヒント

領域 $3$\displaystyle{D}$ より変数 $3$\displaystyle{x}$ と変数 $3$\displaystyle{y}$ の積分範囲を決定する．

次に， $3$\displaystyle{x}$ を定数とみなして $3$\displaystyle{y}$ について積分し，その結果を更に $3$\displaystyle{x}$ で積分する．

■解説

領域 $3$\displaystyle{D}$ より

$3$\displaystyle{{\int\int }\limits_{D} $ x+2 $ dxdy }$

$3$\displaystyle{=\int _{ - 1 }^{1} $ \int _{0}^{ {x}^{2}+1 } \( x+2 $ dy \) dx }$

まず， $3$\displaystyle{ \displaystyle{\int }_{0}^{ {x}^{2}+1 }\left({ x+2 }\right)dy }$ を計算する． $3$\displaystyle{x}$ を定数とみなして $3$\displaystyle{y}$ について積分する．

$3$\displaystyle{=\int _{ - 1 }^{1} \[ xy+2y \] _{ \text{\hspace{1} }0 }^{ \text{\hspace{1} }{x}^{2}+1 }dx }$

$3$\displaystyle{=\int _{ - 1 }^{1} \{ x\text{\hspace{1} }\cdot \text{\hspace{1} } $ {x}^{2}+1 $ +2 $ {x}^{2}+1 $ - $ x\text{\hspace{1} }\cdot \text{\hspace{1} }0+2\text{\hspace{1} }\cdot \text{\hspace{1} }0 $ \} dx }$

$3$\displaystyle{=\int _{ - 1 }^{1} $ {x}^{3}+x+2{x}^{2}+2- 0 $ dx }$

$3$\displaystyle{=\int _{ - 1 }^{1} $ {x}^{3}+2{x}^{2}+x+2 $ dx }$

更に $3$\displaystyle{x}$ で積分する．

$3$\displaystyle{= \[ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{x}^{4}+\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{x}^{3}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{x}^{2}+2x \] _{ \text{\hspace{1} }- 1 }^{ \text{\hspace{1} }1 }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\text{\hspace{1} }\cdot \text{\hspace{1} }{1}^{4}+\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\text{\hspace{1} }\cdot \text{\hspace{1} }{1}^{3}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\text{\hspace{1} }\cdot \text{\hspace{1} }{1}^{2}+2\text{\hspace{1} }\cdot \text{\hspace{1} }1}$

$3$\displaystyle{\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }- \{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\text{\hspace{1} }\cdot \text{\hspace{1} }{ $ - 1 $ }^{4}+\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\text{\hspace{1} }\cdot \text{\hspace{1} }{ $ - 1 $ }^{3}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\text{\hspace{1} }\cdot \text{\hspace{1} }{ $ - 1 $ }^{2}+2\text{\hspace{1} }\cdot \text{\hspace{1} } $ - 1 $ \} }$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}+\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}+2- $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}- \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}- 2 $ }$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}+\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}+2- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}+\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}+2}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}4\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}+4}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} 4+12 \hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} 16 \hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}}$

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最終更新日： 2023年8月3日