重積分の計算問題

■問題

次の重積分の値を求めよ．

$3$\displaystyle{{\int\int }\limits_{D} $ 2x+y $ dxdy }$ 　　 $3$\displaystyle{ $ D:{x}^{2}\leq y\leq x+2 $ }$

■答

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} 117 \hspace{2}}{\hspace{2} 10 \hspace{2}}}$

■ヒント

はじめに領域 $3$\displaystyle{D}$ を作図し， $3$\displaystyle{x}$ ， $3$\displaystyle{y}$ の積分範囲を決定する．

次に， $3$\displaystyle{x}$ を定数とみなして $3$\displaystyle{y}$ について積分し，その結果を更に $3$\displaystyle{x}$ で積分する．

■解説

領域 $3$\displaystyle{D}$ は

$3$\displaystyle{{x}^{2}\leq y\leq x+2}$

であることより

曲線 $3$\displaystyle{y={x}^{2}}$ 　･･････(1)

直線 $3$\displaystyle{y=x+2}$ 　･･････(2)

で囲まれた領域である．(1)，(2)のの交点を求めると

$3$\displaystyle{{x}^{2}=x+2}$

$3$\displaystyle{{x}^{2}- x- 2=0}$

$3$\displaystyle{ $ x+1 $ $ x- 2 $ =0}$

$3$\displaystyle{x=- 1,2}$

$q3-4$

$3$\displaystyle{y=x+2}$ にそれぞれ代入することにより，交点は $3$\displaystyle{ $ - 1,1 $ , $ 2,4 $ }$ の2点となる．

領域 $3$\displaystyle{D}$ を作図すると右図のようにな．

これより積分範囲を決定すると

$3$\displaystyle{{\int\int }\limits_{D} $ 2x+y $ dxdy }$

$3$\displaystyle{=\int _{ - 1 }^{2} $ \int _{ {x}^{2} }^{ x+2 } \( 2x+y $ dy \) dx }$

まず， $3$\displaystyle{ \displaystyle{\int }_{ {x}^{2} }^{ x+2 }\left({ 2x+y }\right)dy }$ を計算する． $3$\displaystyle{x}$ を定数とみなして $3$\displaystyle{y}$ について積分する．

$3$\displaystyle{=\int _{ - 1 }^{2} \[ 2xy+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{y}^{2} \] _{ {x}^{2} }^{ x+2 }dx }$

$3$\displaystyle{=\int _{ - 1 }^{2} \[ 2x $ x+2 $ +\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{ $ x+2 $ }^{2}- \{ 2x\cdot {x}^{2}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{ $ {x}^{2} $ }^{2} \} \] dx }$

$3$\displaystyle{=\int _{ - 1 }^{2} \{ 2{x}^{2}+4x+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ {x}^{2}+4x+4 $ - $ 2{x}^{3}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{x}^{4} $ \} dx }$

更に $3$\displaystyle{x}$ で積分する．

$3$\displaystyle{=\int _{ - 1 }^{2} $ 2{x}^{2}+4x+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{x}^{2}+2x+2- 2{x}^{3}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{x}^{4} $ dx }$

$3$\displaystyle{=\int _{ - 1 }^{2} $ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{x}^{4}- 2{x}^{3}+\frac{\hspace{2} 4+1 \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{x}^{2}+6x+2 $ dx }$

$3$\displaystyle{=\int _{ - 1 }^{2} $ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{x}^{4}- 2{x}^{3}+\frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{x}^{2}+6x+2 $ dx }$

$3$\displaystyle{= \[ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 10 \hspace{2}}{x}^{5}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{x}^{4}+\frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}{x}^{3}+3{x}^{2}+2x \] _{ - 1 }^{ 2 }}$

$3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 10 \hspace{2}}\cdot {2}^{5}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\cdot {2}^{4}+\frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}\cdot {2}^{3}+3\cdot {2}^{2}+2\cdot 2}$

$3$\displaystyle{- \{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 10 \hspace{2}}\cdot { $ - 1 $ }^{5}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\cdot { $ - 1 $ }^{4} +\frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}\cdot { $ - 1 $ }^{3}+3\cdot { $ - 1 $ }^{2}+2\cdot $ - 1 $ \} }$

$3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2} 16 \hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}}- 8+\frac{\hspace{2} 20 \hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}+12+4- $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 10 \hspace{2}}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}- \frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}+3- 2 $ }$

$3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2} 16 \hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}}+\frac{\hspace{2} 20 \hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}+8- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 10 \hspace{2}}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}+\frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}- 1}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} - 96+200+240- 3+15+25- 30 \hspace{2}}{\hspace{2} 30 \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} 351 \hspace{2}}{\hspace{2} 30 \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} 117 \hspace{2}}{\hspace{2} 10 \hspace{2}}}$

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最終更新日： 2023年8月3日