重積分の計算問題

■問題

次の重積分を計算せよ．

$3$\displaystyle{\int _{0}^{2} \int _{ \frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }^{1} $ x+y $ dxdy }$

■答

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}4\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}}$

■ヒント

まず

$3$\displaystyle{ \int _{ \frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }^{1} $ x+y $ dx }$

を計算する． $3$\displaystyle{y}$ を定数と考えて $3$\displaystyle{x}$ について積分し，その結果を $3$\displaystyle{y}$ で積分する．

■解説

$3$\displaystyle{\int _{0}^{2} \int _{ \frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }^{1} $ x+y $ dxdy }$

$3$\displaystyle{=\int _{0}^{2} \{ \int _{ \frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }^{1} $ x+y $ dx \} dy}$

$3$\displaystyle{=\int _{0}^{2} \[ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{x}^{2}+xy \] _{ \frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }^{1} dy}$

$3$\displaystyle{=\int _{0}^{2} \{ $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}+y $ - $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}8\hspace{2}}{y}^{2}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{y}^{2} $ \} dy}$

$3$\displaystyle{=\int _{0}^{2} $ - \frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}8\hspace{2}}{y}^{2}+y+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ dy}$

$3$\displaystyle{= \[ - \frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2} 24 \hspace{2}}{y}^{3}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{y}^{2}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}y \] _{0}^{2}}$

$3$\displaystyle{= \{ $ - \frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}+2+1 $ - 0 \} }$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}4\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}}$

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最終更新日： 2023年8月4日