重積分の計算問題

■問題

次の重積分を計算せよ．

$3$\displaystyle{\int _{0}^{1} \int _{0}^{ 1- x } $ {x}^{2}- 2y $ dydx }$

$3$\displaystyle{- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{x}$ を定数として $3$\displaystyle{y}$ について積分し，その結果を $3$\displaystyle{x}$ で積分していく．

$3$\displaystyle{ \int _{0}^{1}\left{{ \int _{0}^{ 1- x } $ {x}^{2}- 2y $ dy }\right}dx }$

$3$\displaystyle{\int _{0}^{1} \int _{0}^{ 1- x } $ {x}^{2}- 2y $ dydx }$

$3$\displaystyle{= \int _{0}^{1}\left{{ \int _{0}^{ 1- x } $ {x}^{2}- 2y $ dy }\right}dx }$

$3$\displaystyle{=\int _{0}^{1} \[ y{x}^{2}- {y}^{2} \] _{0}^{ 1- x } dx}$

$3$\displaystyle{=\int _{0}^{1} \{ {x}^{2} $ 1- x $ - { $ 1- x $ }^{2} \} dx}$

$3$\displaystyle{=\int _{0}^{1} $ - {x}^{3}+2x- 1 $ dx }$

$3$\displaystyle{= \[ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{x}^{4}+{x}^{2}- x \] _{0}^{1}}$

$3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}}$

最終更新日： 2023年8月4日