重積分の計算問題

■問題

次の重積分を計算せよ．

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \hspace{1}{\int\int }_{D} $ {x}^{3}+xy $ dxdy } }$ 　　 $3$\displaystyle{$D:0\leq y\leq 1,0\leq x\leq \sqrt{y}$}$

■答

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}}$

■ヒント

積分領域 $3$\displaystyle{D}$ から積分範囲を決定する． $3$\displaystyle{x}$ について積分した後， $3$\displaystyle{y}$ で積分する場合，

$3$\displaystyle{x}$ の積分範囲： $3$\displaystyle{ 0\rightarrow \sqrt{y} }$

$3$\displaystyle{y}$ の積分範囲： $3$\displaystyle{0\rightarrow 1}$

となる．

■解説

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{\int\int }_{D} $ {x}^{3}+ xy $ dxdy }$

$3$\displaystyle{ = \int _{0}^{1} \left{{ \int _{0}^{\sqrt{y}} \left({ {x}^{3}+xy }\right)dx }\right} dy }$

$3$\displaystyle{=\int _{0}^{1} dy \int _{0}^{ \sqrt{y} } $ {x}^{3}+xy $ dx}$

$3$\displaystyle{=\int _{0}^{1} dy \[ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{x}^{4}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{x}^{2}y \] _{0}^{ \sqrt{y} }}$

$3$\displaystyle{=\int _{0}^{1} \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{y}^{2} dy}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} \[ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{y}^{3} \] _{0}^{1}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}}$

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最終更新日： 2023年8月4日