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重積分の問題

■問題

次の重積分を計算せよ．

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \hspace{1}{\int\int }_{D} \( {x}^{2}- 2y \) dxdy } \text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }\(D:x+y\leq 1,x\geq 0,y\geq 0\)}$

■答

$3$\displaystyle{- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}}$

■ヒント

$region$ 積分領域 $3$\displaystyle{D}$ から積分範囲を決定する． $3$\displaystyle{y}$ について積分した後， $3$\displaystyle{x}$ で積分する場合，

$3$\displaystyle{y}$ の積分範囲： $3$\displaystyle{0\rightarrow 1- x}$

$3$\displaystyle{x}$ の積分範囲： $3$\displaystyle{0\rightarrow 1}$

となる．

■解説

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{\int\int }_{D} \( {x}^{2}- 2y \) dxdy }$

$3$\displaystyle{ = \int _{0}^{1} \left{{ \int _{0}^{ 1- x } \left({ {x}^{2}- 2y }\right)dy }\right}dx }$

$3$\displaystyle{=\int _{0}^{1} dx \int _{0}^{ 1- x } \( {x}^{2}- 2y \) dy }$

$3$\displaystyle{=\int _{0}^{1} dx \[ {x}^{2}y- {y}^{2} \] _{0}^{ 1- x }}$

$3$\displaystyle{=\int _{0}^{1} \( - {x}^{3}+2x- 1 \) dx }$

$3$\displaystyle{= \[ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{x}^{4}+{x}^{2}- x \] _{0}^{1}}$

$3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}}$

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最終更新日： 2013年7月8日

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