重積分の基礎

■問題

次の重積分の値を求めよ．

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \hspace{1}{\int\int }_{D} x\sin xydxdy }}$ $3$\displaystyle{ $ D:0\leq x\leq 1,0\leq y\leq \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ }$

■答

$3$\displaystyle{ 1- \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}} }$

■ヒント

領域 $3$\displaystyle{D}$ から変数 $3$\displaystyle{x}$ と変数 $3$\displaystyle{y}$ の積分範囲を決定する．

次に， $3$\displaystyle{x}$ を定数とみなして $3$\displaystyle{y}$ について積分し，その結果を更に $3$\displaystyle{x}$ で積分する．

■解き方

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{\int\int }_{D} x\sin xydxdy }$

$3$\displaystyle{ ={\displaystyle{\int }}\limits_{0}^{1}\left({ \displaystyle{\int }_{0}^{ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }x\sin xydy }\right)dx }$

$3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int _{0}^{1} \[ - \cos xy \] _{0}^{ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} } }dx}$

$3$\displaystyle{=- \displaystyle{ \int _{0}^{1} \[ \cos xy \] }_{0}^{ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }dx}$

$3$\displaystyle{=- \displaystyle{ \int _{0}^{1} $ \cos \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}x- 1 $ dx }}$

$3$\displaystyle{=- \[ \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}\sin \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}x- x \] _{0}^{1}}$

$3$\displaystyle{=- \{ $ \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}- 1 $ - 0 \} }$

$3$\displaystyle{=1- \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}}$

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最終更新日： 2023年8月22日