重積分の基礎

■問題

次の重積分を計算せよ．

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \hspace{1}{\int\int }_{D} \left({ 2x- y }\right)dx }dy}$ 　　 $3$\displaystyle{D:0\leq x\leq 1,x\leq y\leq \sqrt{x}}$

■答

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 20 \hspace{2}}}$

■ヒント

領域 $3$\displaystyle{D}$ より変数 $3$\displaystyle{x}$ と変数 $3$\displaystyle{y}$ の積分範囲を決定する．

次に， $3$\displaystyle{x}$ を定数とみなして $3$\displaystyle{y}$ について積分し，その結果を更に $3$\displaystyle{x}$ で積分する．

■解説

$積分範囲$

$3$\displaystyle{D}$ の範囲より

(与式) $3$\displaystyle{=\displaystyle{\int }_{0}^{1}\left({ \displaystyle{\int }_{x}^{ \sqrt{x} }\left({ 2x- y }\right)dy }\right)dx}$

$3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int _{0}^{1} \[ 2xy- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{y}^{2} \] }_{x}^{ \sqrt{x} }dx}$

$3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int _{0}^{1} \{ $ 2{x}^{ \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}x $ - $ 2{x}^{2}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{x}^{2} $ \} }dx}$

$3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int _{0}^{1} $ - \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{x}^{2}+2{x}^{ \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}x $ }dx}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 20 \hspace{2}}}$

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最終更新日： 2023年8月22日