変数変換
■問題
適当な変数変換を行って次の重積分を計算せよ．
%20%20{e}^{%20-%20x-%20y%20%20}%20%20%20%20}dxdy%20%20})
%20%20})
■答
%20%20%20%20})
■ヒント
，
とおく変数変換により，積分の計算を簡単化する。ヤコビアンの計算式も参考にする．
■解き方
，
とおくと
%20%20%20%20})
，%20%20%20%20})
となる．よって，この変数変換によるヤコビアンは
%20%20=%20%5c|%20%5cbegin{array}%20%5cfrac{%5chspace{2}%20{%5cpartial}x%20%20%5chspace{2}}{%5chspace{2}%20{%5cpartial}u%20%20%5chspace{2}}%20%20&%20%5cfrac{%5chspace{2}%20{%5cpartial}x%20%20%5chspace{2}}{%5chspace{2}%20{%5cpartial}v%20%20%5chspace{2}}%20%20&%20%5cvspace{6}%5c%5c%20%20%5cfrac{%5chspace{2}%20{%5cpartial}y%20%20%5chspace{2}}{%5chspace{2}%20{%5cpartial}u%20%20%5chspace{2}}%20%20&%20%5cfrac{%5chspace{2}%20{%5cpartial}y%20%20%5chspace{2}}{%5chspace{2}%20{%5cpartial}v%20%20%5chspace{2}}%20%20&%20%5cvspace{6}%5c%5c%20%20%5cend{array}%20%20%5c|%20%20=%20%5c|%20%5cbegin{array}%20%5cfrac{%5chspace{2}1%5chspace{2}}{%5chspace{2}2%5chspace{2}}%20%20&%20%5cfrac{%5chspace{2}1%5chspace{2}}{%5chspace{2}2%5chspace{2}}%20%20&%20%5cvspace{6}%5c%5c%20%20%5cfrac{%5chspace{2}1%5chspace{2}}{%5chspace{2}2%5chspace{2}}%20%20&%20-%20%5cfrac{%5chspace{2}1%5chspace{2}}{%5chspace{2}2%5chspace{2}}%20%20&%20%5cvspace{6}%5c%5c%20%20%5cend{array}%20%20%5c|%20%20=-%20%5cfrac{%5chspace{2}1%5chspace{2}}{%5chspace{2}2%5chspace{2}}})
となる．変数変換によって})
の領域
は})
の領域
(長方形)
に変換される．よって
(与式)%20%20%20%20%20%20}{e}^{%20-%20u%20%20}%5ccdot%20%5cfrac{%5chspace{2}1%5chspace{2}}{%5chspace{2}2%5chspace{2}}dudv})
%20%20%20%20%20%20}{e}^{%20-%20u%20%20}dudv})
dv%20%20}%5cright)du%20%20%20%20}})
%20%20du})
%20%20du})
部分積分法を用いて計算をする
}^{%5cprime%20}%5cleft({%20{u}^{2}+%5cfrac{%5chspace{2}4%5chspace{2}}{%5chspace{2}3%5chspace{2}}%20%20}%5cright)du})
%20%20}%5cright]_{%20-%202%20%20}^{2}})
%5ccdot%202udu})
%20%20+{e}^{2}%20%5c(%204+%5cfrac{%5chspace{2}4%5chspace{2}}{%5chspace{2}3%5chspace{2}}%20%20%5c)%20%20%20%20%5c}%20%20%20%20})
最後の項の積分は部分積分法を用いて計算をする
%20%20}^{%5cprime%20}du%20%20%20%20}})
%20%20%20%20%5c}%20%20})
%20%20})
%20%20})
ホーム>>カテゴリー分類>>積分>>重積分>>重積分の計算問題>>問題
学生スタッフ作成
最終更新日：
2023年10月19日
