変数変換

■問題

適当な変数変換を行って次の重積分を計算せよ．

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \hspace{1}{\int\int }_{D} 4 $ {x}^{2}+2xy+{y}^{2} $ } $ {x}^{2}- {y}^{2} $ dxdy}$ 　　 $3$\displaystyle{ $ D:0\leq x+y\leq 2,- 1\leq x- y\leq 2 $ }$

■答

$3$\displaystyle{ 12 }$

■ヒント

$3$\displaystyle{ x+y=u }$ ， $3$\displaystyle{x- y=v}$ とおく変数変換により，積分の計算を簡単化する。ヤコビアンの計算式も参考にする．

■解き方

領域 $3$\displaystyle{D}$ 　

領域 $3$\displaystyle{{D}^{\prime }}$ 　

$3$\displaystyle{ x+y=u }$ ， $3$\displaystyle{ x- y=v }$ とおくと

$3$\displaystyle{ x=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ u+v $ }$ ， $3$\displaystyle{ y=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ u- v $ }$

となる．よって，この変数変換によるヤコビアンは

$3$\displaystyle{J $ u,v $ = \| \begin{array} \frac{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}u \hspace{2}} & \frac{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}v \hspace{2}} & \vspace{6}\\ \frac{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}u \hspace{2}} & \frac{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}v \hspace{2}} & \vspace{6}\\ \end{array} \| = \| \begin{array} \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} & \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} & \vspace{6}\\ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} & - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$ $3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

となる．変数変換によって $3$\displaystyle{\left({ x,y }\right)}$ の領域 $3$D$ は $3$\displaystyle{\left({ u,v }\right)}$ の領域 $3$\displaystyle{{D}^{\prime }}$

$3$\displaystyle{{D}^{\prime }:0\leq u\leq 2,- 1\leq v\leq 2}$

に変換される．よって

(与式) $3$\displaystyle{=\displaystyle{ \hspace{1}{\int\int }_{{D}^{\prime }} \left({ 4{u}^{3}v }\right)\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}dudv }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\displaystyle{ \int _{ - 1 }^{2} \left({ \displaystyle{\int }_{0}^{2}\left({ 4{u}^{3}v }\right)du }\right)dv }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\displaystyle{ \int _{ - 1 }^{2} \left[{ {u}^{4}v }\right] _{0}^{2}dv }}$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\displaystyle{\int _{ - 1 }^{2} \left({ 16v }\right)dv } }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} \[ 8{v}^{2} \] _{ - 1 }^{2} }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ 32- 8 $ }$

$3$\displaystyle{\displaystyle{=12}}$

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最終更新日： 2023年10月19日