L { df( t ) dt }=sF( s )−f( 0 )
L { −tf( t ) }= dF( s ) ds
整数 n≧1 のとき
L { f ( n ) ( t ) } = s n F ( s ) − s n − 1 f ( 0 ) + s n − 2 f ( 1 ) ( 0 ) + ⋯ + s f ( n − 2 ) ( 0 ) + f ( n − 1 ) ( 0 ) }
L { ( −t ) n f( t ) }= F ( n ) ( s )
L { df( t ) dt } = ∫ 0 ∞ e −st df( t ) dt dt
部分積分を用いると
= [ f( t ) e −st ] 0 ∞ − ∫ 0 ∞ d dt { e −st }f( t )dt
= [ f( t ) e −st ] 0 ∞ − ∫ 0 ∞ ( −s e −st )f( t )dt
=−f( 0 )+s ∫ 0 ∞ e −st f( t )dt
=−f( 0 )+sF( s )
=sF( s )−f( 0 )
dF( s ) ds = d ds { ∫ 0 ∞ e −st f( t )dt }
= ∫ 0 ∞ d ds ( e −st ) f( t )dt
= ∫ 0 ∞ ( −t e −st ) f( t )dt
=− ∫ 0 ∞ e −st { tf( t ) }dt
=−L { tf( t ) }
よって
L { −tf( t ) } = dF( s ) ds
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最終更新日: 2023年6月6日