推移則

推移則

L f t =F s のとき

L{ f( ta )u( ta ) }= e as F( s )

ただし,  u( t )  は,  t0  で  u( t )=1 t<0  で  u( t )=0  となる関数である.

L{ e at f( t ) }=F( s+a )  

■証明

t>0  のとき,  f( ta )u( ta )  のラプラス変換は定義式より

L f ta u ta = 0 e st f ta u ta dt

ta=τ  とおくと,  dt=dτ t:0 のとき τ:a となるので

= a e s τ+a f τ u τ dτ

= a 0 e s τ+a f τ u τ dτ + 0 e s τ+a f τ u τ dτ

u( τ )  は,  τ0  で  u( τ )=1 τ<0  で  u( τ )=0 より

= 0 e s( τ+a ) f( τ ) dτ

= 0 e sa · e sτ f( τ ) dτ

= e sa 0 e sτ f( τ ) dτ

= e sa F( s )

■証明

L{ e at f( t ) }

= 0 e st { e at f( t ) }dt

= 0 e st · e at f( t )dt

= 0 e ( s+a )t f( t )dt

ラプラス変換の定義式  L{ f( t ) }=F( s )= 0 e st f( t )dt  と比較して

L{ e at f( t ) } =F( s+a )

 

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最終更新日: 2023年6月6日