微分演算子の公式f(D)e^(ax)の証明

公式の証明

f( D ) e αx =f( α ) e αx

■証明 

微分演算子の定義より

D e αx =α e αx D 2 e αx = α 2 e αx ,・・・, D n e αx = α n e α x ,・・・

が成り立つ.

f( D )= D n + a n1 D n1 ++ a 2 D 2 + a 1 D+ a 0

として証明する.

f( D ) e αx =( D n + a n1 D n1 ++ a 2 D 2 + a 1 D+ a 0 ) e αx

= D n e α x + a n 1 D n 1 e α x + + a 2 D 2 e α x + a 1 D e α x + a 0 e α x

= α n e α x + a n 1 α n 1 e α x + + a 2 α 2 e α x + a 1 α e α x + a 0 e α x

= ( α n + a n 1 α n 1 + + a 2 α 2 + a 1 α + a 0 ) e α x

= f ( α ) e α x

よって

f( D ) e αx =f( α ) e αx

 

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学生スタッフ作成
最終更新日: 2023年6月8日