偏微分の順序交換

偏微分の順序交換

z=f( x,y )  について, 2 z yx 2 z xy が共に連続ならば

2 z yx = 2 z xy  

表現をかえると

f xy ( x,y )= f yx ( x,y )  

が成り立つ.

■証明

偏導関数の定義より

f x ( x,y )= f x = lim h0 f( x+h,y )f( x,y ) h  

f y ( x,y )= f y = lim k0 f( x,y+k )f( x,y ) k  

また

f xy = f x y = lim k0 f x ( x,y+k ) f x ( x,y ) k  

= lim k0 lim h0 f( x+h,y+k )f( x,y+k ) h lim h0 f( x+h,y )f( x,y ) h k  

= lim k0 [ 1 k { lim h0 f( x+h,y+k )f( x,y+k )f( x+h,y )+f( x,y ) h } ]  

= lim k0 [ lim h0 1 hk { f( x+h,y+k )f( x,y+k )f( x+h,y )+f( x,y ) } ]  ・・・・・・(1)

同様にして

f yx = f y x = lim h0 f y ( x+h,y ) f y ( x,y ) h  

= lim h0 lim k0 f( x+h,y+k )f( x+h,y ) k lim k0 f( x,y+k )f( x,y ) k h  

= lim h0 [ 1 h { lim k0 f( x+h,y+k )f( x+h,y ) k lim k0 f( x,y+k )f( x,y ) k } ]  

= lim h0 [ lim k0 1 hk { f( x+h,y+k )f( x,y+k )f( x+h,y )+f( x,y ) } ]  ・・・・・・(2)

ここで

Δ=f( x+h,y+k )f( x,y+k ) f( x+h,y ) +f( x,y )  ・・・・・・(3)

とおき,

g 1 ( x )=f( x,y+k )f( x,y )  

とおくと,(3)は

Δ= g 1 ( x+h ) g 1 ( x )  

平均値の定理より

Δ= g 1 ( x+ θ 1 h )h     ( 0< θ 1 <1 )

ここで g 1 ( x )

g 1 ( x )= d dx g 1 ( x )  

={ d dx g 1 ( x+ θ 1 h ) }h  

= x { f( x,y+k )f( x,y ) }  

          = f x ( x,y+k ) f x ( x,y )  

よって

Δ={ f x ( x+ θ 1 h,y+k ) f x ( x+ θ 1 h,y ) }h  ・・・・・・(4)

g 2 ( y )= f x ( x+ θ 1 h,y )  とおくと(4)は,

Δ={ g 2 ( y+k ) g 2 ( y ) }h  

平均値の定理より

g 2 ( y+k ) g 2 ( y )= g 2 ( y+ θ 2 k )k  

となるので

Δ={ g 2 ( y+ θ 2 k )k }h     ( 0 < θ 2 < 1 )

={ g 2 ( y+ θ 2 k ) }hk  

ここで g 2 ( y )

g 2 ( y )= d dy g 2 ( y )  

= y f x ( x+ θ 1 h,y )  

= f xy ( x+ θ 1 h,y )  

よって

Δ= f xy ( x+ θ 1 h,y+ θ 2 k )hk  ・・・・・・(5)

次に, h 1 ( y )=f( x+h,y )f( x,y )  とおくと(3)は

Δ= h 1 ( y+k ) h 1 ( y )  

平均値の定理より

Δ= h 1 ( y+ ϕ 1 k )k     ( 0< ϕ 1 <1 )

ここで h 1 ( y )

h 1 ( y )= d dy h 1 ( y )  

= y { f( x+h,y )f( x,y ) }  

= f y ( x+h,y ) f y ( x,y )  

よって

Δ={ f y ( x+h,y+ ϕ 1 k ) f y ( x,y+ ϕ 1 k ) }k  ・・・・・・(6)

h 2 ( x )= f y ( x,y+ ϕ 1 k )  とおくと(6)は

Δ={ h 2 ( x+h ) h 2 ( x ) }k  

平均値の定理より

h 2 ( x+h ) h 2 ( x )= h 2 ( x+ ϕ 2 h )h  

となるので

Δ={ h 2 ( x+ ϕ 2 h )h }k     ( 0 < ϕ 2 < 1 )

    ={ h 2 ( x+ ϕ 2 h ) }hk  

ここで h 2 ( x )

h 2 ( x )= d dx h 2 ( x )  

= x f y ( x,y+ ϕ 1 k )  

= f yx ( x,y+ ϕ 1 k )  

よって

Δ= f yx ( x+ ϕ 2 h,y+ ϕ 1 k )hk  ・・・・・・(7)

(1),(5)より

lim h0 k0 Δ hk = lim h0 k0 f xy ( x+ θ 1 h,y+ θ 2 k ) = f xy ( x,y )  ・・・・・・(8)

(2),(7)より

lim h0 k0 Δ hk = lim h0 k0 f yx ( x+ ϕ 2 h,y+ ϕ 1 k ) = f yx ( x,y )  ・・・・・・(9)

(8),(9)より 

f xy ( x,y )= f yx ( x,y )  

 

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最終更新日: 2023年1月20日