ラプラシアン

ラプラシアン

x y の関数 f x , y に対して

Δ f = f xx + f yy = 2 f x 2 + 2 f y 2

で定義される2階の微分作用素 Δ ラプラシアンまたはラプラス微分作用素という.また,微分方程式

Δ f = 0

ラプラスの微分方程式という.

一般に, n 変数の関数

u = f x 1 , x 2 , ..., x n

に対しても,記号 Δ を用いて形式的に

Δ = 2 x 1 2 + 2 x 2 2 + ... + 2 x n 2

と定めて

Δ u = 2 u x 1 2 + 2 u x 2 2 + ... + 2 u x n 2

の意味で使われる.そして

Δ u = 0

を満たす関数 u = f x 1 , x 2 , ..., x n 調和関数という.

 

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2023年6月11日