行列の積の行列式に関する定理

行列の積の行列式に関する定理

定理

A B n 次の正方行列とするとき,

AB = A · B

が成り立つ.

証明

A B 2 次の正方行列の場合

A= a 11 a 12 a 21 a 22 B= b 11 b 12 b 21 b 22

とする.

b 1 = b 11 b 12 b 2 = b 21 b 12

とおくと

B= b 1 b 2

と表わせる.

AB= a 11 a 12 a 21 a 22 b 11 b 12 b 21 b 22

行列の積を参照

= a 11 b 11 + a 12 b 21 a 11 b 12 + a 12 b 22 a 21 b 11 + a 22 b 21 a 21 b 12 + a 22 b 22

= a 11 b 11 b 12 + a 12 b 21 b 22 a 21 b 11 b 12 + a 22 b 21 b 22

= a 11 b 1 + a 12 b 2 a 21 b 1 + a 22 b 2

AB = a 11 b 1 + a 12 b 2 a 21 b 1 + a 22 b 2

行列式の和の性質を利用して行列式を分割していく.

= a 11 b 1 a 21 b 1 + a 22 b 2 + a 12 b 2 a 21 b 1 + a 22 b 2

= a 11 b 1 a 21 b 1 + a 11 b 1 a 22 b 2 + a 12 b 2 a 21 b 1 + a 12 b 2 a 22 b 2

定数倍の性質を利用して,行列 A の成分をくくりだす.

= a 11 a 21 b 1 b 1 + a 11 a 22 b 1 b 2 + a 12 a 21 b 2 b 1 + a 12 a 22 b 2 b 2

同じ行があるときの性質より, b 1 b 1 =0 b 2 b 2 =0 となる,よって

= a 11 a 22 b 1 b 2 + a 12 a 21 b 2 b 1

sgnを使って,式を整理する.

= a 11 a 22 sgn 1 2 1 2 b 1 b 2 + a 12 a 21 sgn 2 1 1 2 b 1 b 2

= a 11 a 22 sgn 1 2 1 2 + a 12 a 21 sgn 2 1 1 2 b 1 b 2

= sgn 1 2 i 1 i 2 a 1 i 1 a 2 i 2 b 1 b 2

行列式の定義より

= A · B

となり,証明された.

2次より次数が大きい場合も同様にして証明できる.

 

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最終更新日:2022年8月27日