合成関数
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合成関数

 2つの関数 f( x )  と g( x )  がある.そして, f( x )  の値域 g( x )  の定義域に含まれているとする.

 変数 x は関数 f( x )  によって y に対応すると,

y=f( x )   ・・・・・・(1)

と表される.

 今度は, y を変数と考える.この変数 y は関数 g( y )  によって z に対応すると(変数が x から y にかえているので g( y ) と表していることに注意すること),

z=g( y )   ・・・・・・(2)

と表される.

(2)の変数 y のかわりに(1)より f( x )  を用いると,

z=g( f( x ) )  

と表される.すなわち,変数 x は関数 f につづいて関数 g を機能させることにより z に対応する.よって g( f( x ) ) を1つの関数とみなせる.この関数を合成関数といい,

( gf )( x )  

と表す.

 この合成関数の概念を図で表すと下図のようになる.

b=f( a ) c=g( b ) }c=g( f( a ) ) ,あるいは,( gf )( a )  

 

合成写像を参照のこと

 

 

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初版:2005年10月8日,最終更新日 2009年2月25日

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