逆関数

逆関数

関数 y=f( x ) がある.この関数においては,変数 x に対してただ1つの値 y が定まる.逆に y を決めると x がただ1つ定まる場合がある.この場合, x は y  の関数となり

x=g( y )

と表わすとする.

関数を表すとき,一般的に変数に x,変数 xに対応する値に y を用いるので

y=g( x )

と書き直す.この関数 g( x ) を関数 f( x ) 逆関数という.逆写像参照のこと.

関数 f( x ) 逆関数を一般的に f 1 ( x ) と表す.

関数 y=f( x ) において, x y1対1の対応になっている場合,関数 f( x ) 逆関数 f 1 ( x ) 存在し

y=f x x= f 1 y

が成り立つ.

■事例

関数 y=2x  (右の図の青線)について逆関数を考えてみる.

変数 xの値が1であれば, y の値は2に定まる.逆に y の値が4であれば, x  値は2にただ1つ定まる.すなわち, y を変数として x  を表すと

x= 1 2 y

となる. x と yを入れ替えると

y= 1 2 x

となり,これが,関数 y=2x の逆関数(下の図の赤線)になる.

関数 y=f( x ) のグラフとその関数の逆関数 y= f 1 ( x ) のグラフは直線 y=x に関して対称である.

関数 y = x 2 の場合は, y の値4に対して x は2と-2が対応し,1つに定まらない.よって, x y 関数とならないが, x 0  と定義域の範囲を定めると, y に対してただ1つの x が定まり逆関数が存在することになる.

 

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最終更新日 2023年12月5日