グラフを$x$軸に関して対称移動した関数

関数 ${\displaystyle y=f\left(x\right)}$  のグラフを $x$ 軸に関して対称移動たグラフを表す関数は

${\displaystyle -y=f\left(x\right)}$　･･････(1)

すなわち

${\displaystyle y=-f\left(x\right)}$　･･････(2)

となる．

ポイント： $x$ 軸に関して対称移動した関数は元の関数の $y$ を${\displaystyle -y}$ に書き換えたものになる．

■式の導出

${\displaystyle y=f\left(x\right)}$ のグラフを$x$ 軸に関して対称移動したグラフを表す関数を求める．

${\displaystyle y=f\left(x\right)}$ 上の点$\text{P}$を$x$ 軸に関して対称移動したものを点$\text{Q}$とし，点$\text{P}$，$\text{Q}$の座標をそれぞれ${\displaystyle \left(r,s\right)}$ ，$\left(x,y\right)$ とする．点$\text{Q}$の$x$ 座標の値は点$\text{P}$の$x$ 座標の値$r$と変わらず，点$\text{Q}$の$y$ 座標の値は点$\text{P}$の$y$ 座標の値$s$ に${\displaystyle {\displaystyle -1}}$を掛けたものとなる．すなわち

${\displaystyle {\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=r\\ y=-s\end{array}\right.\to \left(x,y\right)=\left(r,-s\right)}}$ 　　･･････(3)

備考：これは，グラフの拡大において，原点を中心として $y$ 軸方向に${\displaystyle -1}$倍した場合と同じである．

の関係がある．これは点$\text{Q}$を点$\text{P}$の座標の値を用いて表しているが，逆に点$\text{P}$の座標を，点$\text{Q}$の座標の値$x$ ，$y$ を使って表すと

${\displaystyle \left\{\begin{array}{l}r=x\\ s=-y\end{array}\right.\to \left(r,s\right)=\left(x,-y\right)}$ 　･･････(4)

となる．点$\text{P}$は${\displaystyle y=f\left(x\right)}$ 上の点であるので

${\displaystyle s=f\left(r\right)}$ 　　･･････(5)

の関係がある．この(5)の$r$ と$s$に(4)の関係を代入すると

${\displaystyle -y=f\left(x\right)}$　･･････(1)

となる．${\displaystyle y=}$ の形に式を変形して

${\displaystyle y=-f\left(x\right)}$　･･････(2)

が得られる.(2)は$x$ と$y$の関係を表している．すなわち，この(2)が$y=f\left(x\right)$ のグラフを$x$ 軸に関して対称移動したグラフを表す関数である．

 

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最終更新日：2023年12月5日