直線の方程式
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空間における直線の方程式

点P ( x 0 , y 0 , z 0 ) を通り,方向ベクトル d =( l,m,n ) 直線の方程式は,

x x 0 l = y y 0 m = z z 0 n

と表わされる.また,媒介変数(パラメーター) t を用いて表すと

x= x 0 +tl y= y 0 +tm z= z 0 +tn

と表される.このような直線の方程式の表現方法を媒介変数表示という.

座標平面での直線の方程式はここを参照.

■直線の方程式の導出

直線は,空間(座標空間)中の点と方向ベクトルが決まれば,一意的に決まる.
空間中の点Pの座標 ( x 0 , y 0 , z 0 ) 方向ベクトル d =( l,m,n )  とし,直線上の点Qの座標を ( x,y,z )  とすると,

PQ =t d   ( t媒介変数

とであるので,

OQ = OP + PQ = OP +t d  

表すことができる.これをベクトルの成分表示で表すと,

( x,y,z )=( x 0 , y 0 , z 0 )+t( l,m,n )

あるいは,

{ x= x 0 +tl y= y 0 +tm z= z 0 +tn  

となり,媒介変数を用いた直線の方程式が求まる.次に媒介変数 t の消去を図る.

x = x 0 +tl t= x x 0 l y = y 0 +tm t= y y 0 m z = z 0 +tn t= z z 0 n

となり, t を消去すると,

x x 0 l = y y 0 m = z z 0 n

となる.このように直線の方程式が求まる.

 

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 初版:2004年7月3,最終更新日: 2012年4月16日

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