2倍角の公式
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2倍角の公式

sin 2 α = 2 sin α cos α   公式の導出 

cos 2 α = cos 2 α sin 2 α   公式の導出 

= 2 cos 2 α 1 = 1 2 sin 2 α  

tan 2 α = 2 tan α 1 tan 2 α   公式の導出 

 

■公式の導出

これらの式は加法定理において, β=α とすることにより求めることができる.

●sinの2倍角の公式の導出

sin2α =sin( α+α )  

=2sin αcosα  

●cosの2倍角の公式の導出

cos2 α =cos( α+α )  

  • =cosαcosαsinαsinα
  •    (加法定理を参照)

= cos 2 α sin 2 α   ・・・・・・(1) 

(1)に三角関数の相互関係  sin 2 α+ cos 2 α=1  から得られる  sin 2 α=1 cos 2 α  を代入すると,

= cos 2 α( 1 cos 2 α ) =2 cos 2 α1  

すなわち,

cos 2α=2 cos 2 α1  

のcosの2倍角の公式が得られる.

同様にして,(1)に三角関数の相互関係  sin 2 α+ cos 2 α=1  から得られる  cos 2 α=1 sin 2 α  を代入すると,

=( 1 sin 2 α ) sin 2 α =12 sin 2 α  

すなわち,

cos2α=12 sin 2 α  

の別のcosの2倍角の公式が得られる.

●tanの2倍角の公式の導出

tan 2α =tan( α+α )  

= tan α+tanα 1tanαtanα   (加法定理を参照)

= 2 tanα 1 tan 2 α  

 

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最終更新日: 2015年4月25日

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