積分 (sinx)^3

積分 (sinx)^3

sin 3 xdx

高次の三角関数の積分になるので,積分の計算手順より,三角関数の1次化のための公式を用いて
次数を下げて積分が可能な形にもっていく.

sin 3 xdx = 3sinxsin3x 4 dx

= 3 4 sinxdx 1 4 sin3xdx

= 3 4 cosx+ 1 12 cos3x+C    C は積分定数)

次に角の統一を図る.

3 4 cosx+ 1 12 cos3x+C = 3 4 cosx + 1 12 ( cos2xcosxsin2xsinx )+C

= 3 4 cosx + 1 12 { ( cos 2 x sin 2 x )cosx2sinxcosxsinx }+C

= 3 4 cosx + 1 12 ( cos 3 x3 sin 2 xcosx )+C

= 3 4 cosx + 1 12 { cos 3 x3( 1 cos 2 x )cosx }+C

= 3 4 cosx+ 1 12 ( 4 cos 3 x3cosx )+C

=cosx+ 1 3 cos 3 x+C

置換積分で解く方法もある.

sin 3 xdx = ( 1 cos 2 x )sinxdx

となるので, cosx=t  とおくと, dt dx =sinxsinxdx=dt  となる.よって

1 cos 2 x sinxdx = 1+ t 2 dt

=t+ 1 3 t 3 +C

=cosx+ 1 3 cos 3 x+C    C は積分定数)

となり,同じ結果が得られる.

 

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最終更新日:2023年1月30日