複素フーリエ変換

複素フーリエ変換

f x = 1 2π 0 F ω e iωx dω

F ω = 1 2π 0 f x e iωx dx

となる. F ω f x フーリエ変換という.

■導出

フーリエ積分

f( x )= 0 { G( w )coswx+H( w )sinwx }dw   ・・・・・・(1)

G ( w )= 1 π f( v )coswvdv  ・・・・・・(1-1)

H ( w )= 1 π f( v )sinwvdv  ・・・・・・(1-2)

オイラーの公式

e iθ =cosθ+isinθ

を使って,複素数にまで拡張する.

coswv= e iwv + e iwv 2  ・・・・・・(2)

sinwv=i e iwv e iwv 2  ・・・・・・(3)

(1-1)に(2)を代入する.

G( w ) = 1 π f( v ) e iwv + e iwv 2 dv

= 1 2π f( v ) e iwv dv+ 1 2π f( v ) e iwv dv  ・・・・・・(4)

(1-2)に(3)を代入する.

H( w ) = 1 π f( v )( i e iwv e iwv 2 )dv

=i( 1 2π f( v ) e iwv dv 1 2π f( v ) e iwv dv )  ・・・・・・(5)

coswx= e iwx + e iwx 2  ・・・・・・(6)

sinwx=i e iwx e iwx 2  ・・・・・・(7)

(1)に(4),(5),(6),(7)を代入する.

f( x ) =

0 { ( 1 2π f( v ) e iwv dv+ 1 2π f( v ) e iwv dv ) e iwx + e iwx 2

i( 1 2π f( v ) e iwv dv 1 2π f( v ) e iwv du )( i e iwx e iwx 2 ) }dw

= 0 1 2 { ( 1 2π f( v ) e iwv dv ) e iwx +( 1 2π f( v ) e iwv du ) e iwx

+( 1 2π f( v ) e iwv dv ) e iwx +( 1 2π f( v ) e iwv dv ) e iwx

( 1 2π f( v ) e iwv dv ) e iwx +( 1 2π f( v ) e iwv dv ) e iwx

+( 1 2π f( v ) e iwv dv ) e iwx ( 1 2π f( v ) e iwv dv ) e iwx }dw

= 0 { ( 1 2π f( v ) e iwv dv ) e iwx +( 1 2π f( v ) e iwv dv ) e iwx }dw

= 0 ( 1 2π f( v ) e iwv dv ) e iwx dw + 0 ( 1 2π f( v ) e iwv dv ) e iwx dw  ・・・・・・(8)

となる.(8)の右辺の第1項

0 ( 1 2π f( v ) e iwv dv ) e iwx dw  ・・・・・・(9)

について, w=γ と置く置換積分をする.

dw=dγ

w 0 から のとき, γ 0 から となる.よって(9)は

0 ( 1 2π f( v ) e iγv dv ) e iγx ( dγ )

= 0 ( 1 2π f( v ) e iγv dv ) e iγx dγ

となる.積分変数 γ w に書き換える( γ=w 置換積分をする)と

= 0 ( 1 2π f( v ) e iwv dv ) e iwx dw  ・・・・・・(10)

(10)を(8)に代入すると

f( x ) = 0 ( 1 2π f( v ) e iwv dv ) e iwx dw + 0 ( 1 2π f( v ) e iwv dv ) e iwx dw

= ( 1 2π f( v ) e iwv dv ) e iwx dw  ・・・・・・(11)

となる.

1 2π f( v ) e iwv dv=F( w )  ・・・・・・(12)

とおく.(12)を(11)に代入すると

f( x ) = 1 2π F( w ) e iwx dw

= 1 2π F( w ) e iwx dw  ・・・・・・(13)

となる.(12)の積分変数を v から x に書き換えると

F( w )= 1 2π f( x ) e iwx dx  ・・・・・・(14)

となる.

すなわち

f( x )= 1 2π F( w ) e iwx dw  ・・・・・・(13)

F( w )= 1 2π f( x ) e iwx dx  ・・・・・・(14)

となる.

 

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最終更新日: 2023年7月3日