減衰振動 : 過減衰 (over damping)

x 軸上を単振動する質量 m の質点に速度 v= dx / dt に比例する抵抗力が作用するときの運動方程式

m d2x dt2 =cx bv     ( c b :正定数)     - - - (1)

において,単振動の角振動数 ω0 = c/m  と減衰率 γ=b/ 2m  を導入して整理すると,定数係数の2階同次線形微分方程式

d2x dt2 +2γ dx dt + ω02x =0     - - - (2)

が得られる.この特性方程式  λ2 + 2γλ + ω02 =0  の解  λ= γ± γ2 ω02  は,抵抗が比較的大きくて γ> ω0  ならば2つの異なる実数根となり,この場合を過減衰 (over damping) という. η= γ2 ω02  とおくと,式(2)の一般解は

x= eγt ( c1 eηt + c2 eηt )     ( c1 c2 :任意定数)     - - - (3)

で与えられ, η<γ  なので t が無限に大きくなるとゼロに近づく.この解は振動せずに釣り合いの位置( x=0 )に収束する非周期的減衰 (aperiodic damping) を示す.質点の速度は

v= dx dt = eγt { (γη) c1 eηt + (γ+η) c2 eηt }     - - - (4)

であり,初期条件として, x(0) =x0 v(0) =v0  を考えると,任意定数 c1 c2

c1 = (γ+η) x0 + v0 2η   ,   c2 = (γη) x0 + v0 2η     - - - (5)

を満たすように決定される.

γ=0.2 s-1 η=0.1 s-1  として,正の初期位置( x0= 1.0m )と負の初期位置( x0= 1.0m )の場合について,各々4通りの初期速度で計算した過減衰のグラフを下図に示す.

正の初期位置

  

負の初期位置

式(3)において, x=0  となる時刻は, c1 eηt + c2 eηt =0    ⇒    e2ηt = c2 / c1  より

t= 12η log ( c2 c1 )     - - - (6)

となる. t0  なので, c2 / c1 1  であれば必ず一度釣り合いの位置( x=0 )を通過し, c2 / c1 >1  であれば一度も釣り合いの位置を通過しない.

また,式(4)において,速度 v=0 とおくと位置 x が極大または極小になるときの時刻が得られる.その時刻は, (γ+η) c1 eηt + (γη) c2 eηt =0    ⇒    e2ηt = (γ+η) c2 / (γη) c1  より

t= 12η log { (γ+η) c2 (γη) c1 }     - - - (7)

となる. t0  なので,

(γ+η) c2 (γη) c1 1

であれば,位置 x がどこかの時点で極大または極小となる.

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