ばね‐質量系 : 鉛直ばね振り子(vertical spring pendulum)
図のように,質量
m
の質点(赤丸)を先端に付けたばねを鉛直に吊るして静止させたとき,質点に働く重力によりばねは自然長から
xe
だけ伸びたとすると,鉛直上向きの弾性力
kxe
と下向きの重力
mg
が釣り合うため,次式が成り立つ.
kxe
−mg
=0
- - - (1)
このつり合いの位置を原点 O として鉛直上向きに
x
軸をとり,時刻
t
での質点の位置を
x(t)
とする.このとき,ばねの自然長からの変化量は
x−xe
なので,ばねの弾性力は
−k
(
x−xe
)
となる.質点に作用する力
F
は,ばねの弾性力と重力との合力なので
F=
−k(
x−xe
)
−mg
=−kx
+kxe
−mg
=−kx
- - - (2)
となる(釣り合いの位置を原点 O にとると,質点に作用する力について重力の影響は考慮しなくてよい).したがって,力
F
を受けて
x
軸上を運動する質量
m
の質点の運動方程式は次式となる.
m
d2
x
dt2
=−kx
- - - (3)
上式の両辺を
m
で割り,
ω=
km
- - - (4)
とおいて整理すると,運動方程式は
d2
x
d
t2
+
ω2
x
=0
- - - (5)
と表され,単振動の従う微分方程式の標準形が得られる.この微分方程式の一般解は
x(t)=
Acos
(
ωt+α
)
(
A , α
: 任意定数)
- - - (6)
であり,
ω=
k/m
がこのばね‐質量系の固有角振動数となる.この単振動の周期は次式で表される.
T=
2π
ω
=
2π
mk
- - - (7)
したがって,周期
T
は質量
m
が大きく(小さく)なると,
m
で大きく(小さく)なり,ばね定数
k
が大きく(小さく)なると,
1/k
で小さく(大きく)なる.
質点の速度は
v(t)
=
dx
/
dt
=
−ωAsin
(ωt+α)
と表されるので,初期条件として,時刻
t=0
のときの質点の位置を
x(0)
=x0
,質点の速度を
v(0)
=v0
とすると,
x(0)
=
Acosα
=
x0
- - - (8)
v(0)
=
−ωAsinα
=
v0
- - - (9)
より,任意定数
A
,
α
は
A2
=
(Acosα)
2
+
(Asinα)
2
=
x02
+
(
−
v0
ω
)2
=
x02
+
v02
ω2
- - - (10)
tanα
=
sinα
cosα
=
−
v0
ω
x0
=
−
v0
x0
ω
(
x0
≠0
)
- - - (11)
を満たすように決定する(
x0
=0
のときは,
cosα=0
を満たす
α
を考えればよい
).
基準点を原点 O (
x=0
)としたときの,質点に働く合力
F=−kx
による位置エネルギーは
U(x)
=
12
k
x2
である(重力もばねの弾性力も保存力なので,合力
F
も保存力).これはばねの弾性力
−k
(
x−xe
)
による位置エネルギー
Ue
(x)
=
−
∫0x
{
−k(
x−
xe
)
}
dx
=
12
k
[
(x−
xe
)
2
]
0
x
=
12
k
x2
−k
xe
x
- - - (12)
と,重力
−mg
による位置エネルギー
Ug
(x)
=−
∫0x
(−mg)
dx
=mgx
=k
xe
x
- - - (13)
の和
U(x)=
Ue
(x)+
Ug
(x)
である.ここで,釣り合いの式
mg=
kxe
を用いた.
例として,質点の質量
m=2.0 kg
,ばね定数
k=8.0 N/m
の場合,
ω=
k/m
=
8.0/2.0
=2.0
s-1
より,単振動の一般解は
x(t)=
Acos
(
2.0t+α
)
(
A , α
: 任意定数)
- - - (14)
となる.初期条件として,時刻
t=0 s
で位置
x(0)
=
5.0 m
,速度
v(0)
=
0.0 m/s
とすると,
A2
=
5.02
,
tanα=0
⇒
A=5.0 m
,
α=0
- - - (15)
となり,初期条件を満たす解が
x(t)=
5.0cos2.0t
〔m〕
- - - (16)
と求まる.周期は
T=
2π
/ω
=
2π
/
2.0
=π 〔s〕
s
である.
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最終更新日:2022年12月20日