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鉛直面内で回転運動できるように点 O で固定した軽い棒の先端に質量 の質点を取り付けた単振り子について,点 O から引いた鉛直軸 OC と棒とのなす角を とする(反時計回りに回転する角の向きを正にとる).
単振り子の角速度 を用いて,速度の接線方向成分を と表し,最下点 C での角速度の大きさを とする.力学的エネルギー保存則より,最下点 C での運動エネルギーが最高点 Q と最下点 C との間の重力による位置エネルギーの差よりも小さい場合,つまり
⇒ --- (1)
の場合,単振り子は往復運動となり,大きい場合
--- (2)
において,一方向に回る回転運動となる.また,等しい場合
--- (3)
では,最高点 Q で速さが 0 になり静止する.ここで
--- (4)
とおくと,式 (1) の場合は であり,式 (2) の場合は となる.各々の場合において,単振り子の周期 は以下のように表される(式 (3) の場合 ( ),振り子は最高点 Q で静止するので周期は存在しない).
◆ 往復運動の場合
--- (5) ⇒ 導出
ここで, は第1種の完全楕円積分であり,次式で与えられる.
--- (6)
が非常に小さい微小振動( )の場合,上式において
--- (7)
と近似できるので,第1種の完全楕円積分の値は となる.したがって,周期は となり,近似解における周期と一致する.
次に, は小さいが無視できないとき,つまり,式 (7) のように近似できない場合を考える.式 (6) を に関して展開し,単振り子の最大の振れ角を として,力学的エネルギー保存則から得られる関係式 を用いると,式 (5) は
--- (8)
のように展開できる(詳細).したがって, が小さい場合は最初の数項だけ考慮すればよい. と近似できるくらいの小さな振動では,式 (8) の第2項目までとって
--- (9)
と表せば十分である.
◆ 回転運動の場合
この場合,円周を1回転する時間が周期 となり,第1種の完全楕円積分を用いて次式で表される.
--- (10) ⇒ 導出
が大きい場合は, とおいて,式 (10) を
--- (11)
のように展開し,最初の数項だけ考慮すればよい(詳細).
◆ 往復運動も回転運動もしない場合
この場合,質点が最下点 C ( ) から角 の位置に到達するまでにかかる時間 は次式で表される.
--- (12) ⇒ 導出
式 (12) において, の極限を考えると, より
となる.つまり,質点が最高点 Q ( ) に達するには無限の時間がかかることになる.したがって,厳密には,質点は最高点 Q には限りなく近づいていくが,質点の速さは 0 に限りなく近づいていき,最高点 Q に到達することが出来ない.