円柱座標（円筒座標）(cylindrical coordinates)

2次元の ${\displaystyle xy}$ 平面における円座標の原点に，この平面と垂直に ${\displaystyle z}$ 軸をとり，${\displaystyle xy}$ 平面上の動径座標 ${\displaystyle r}$ ，角度座標 ${\displaystyle \theta }$ および ${\displaystyle z}$ 座標を用いて3次元空間の任意の点の位置を指定するとき，${\displaystyle (r,\theta ,z)}$ を円柱座標（円筒座標）(cylindrical coordinates) という．ある一定の値の動径座標 ${\displaystyle r}$ に対する点 ${\displaystyle (r,\theta ,z)}$ の集合は， ${\displaystyle z}$ 軸を円筒軸とする円筒を描く．

円柱座標 ${\displaystyle (r,\theta ,z)}$ と3次元空間の直交座標 ${\displaystyle (x,y,z)}$ との間には

${\displaystyle x=r\cos \theta }$     - - - (1)
${\displaystyle y=r\sin \theta }$     - - - (2)
${\displaystyle z=z}$     - - - (3)

の関係がある．

平面における円座標と同様に，${\displaystyle z}$ 軸上の任意の点 ${\displaystyle (x,y,z)=(0,0,z)}$ においては角度が定まらず特異点 ${\displaystyle (r,\theta ,z)=(0,\theta ,z)}$ となる．また， ${\displaystyle -\pi <\theta \le \pi }$ の場合には，直交座標から円柱座標への変換が

${\displaystyle r=\sqrt{x^2+y^2}}$     - - - (4)
${\displaystyle \theta =\mathrm{sgn}(y){\cos }^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)}$     - - - (5)
${\displaystyle z=z}$     - - - (6)

で与えられる．式(5)における${\displaystyle \mathrm{sgn}}$ は以下に示す符号関数である：

${\displaystyle \mathrm{sgn}(y)=\left\{\begin{array}{cc}1& (y\ge 0)\\ -1& (y<0)\end{array}\right.}$

また，${\displaystyle z}$ 軸上の点は特異点であり，式(5)の逆余弦関数において分母がゼロとなるため角度が定義できない．

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