等加速度直線運動の式の導出(応用)

時刻 $t 〔 s 〕$ を横軸，速度 $v 〔 m / s 〕$ を縦軸としてグラフで表したのが $v-t$ グラフである．

等加速度直線運動の場合，線の傾きが加速度 $a 〔 m / s^{2} 〕$ であり，ある時刻 $t_{a} 〔 s 〕$ からある時刻 $t_{b} 〔 s 〕$ とグラフ線と $t = 0$ で囲んだ面積が移動距離 $Δ x 〔 m 〕$ となる．

等加速度直線運動の式の導出では，初速度の大きさ $v_{0} 〔 m / s 〕$ ，時刻 $t 〔 s 〕$ が $0$ から $t$ まで等加速度直線運動したのときの移動距離 $Δ x 〔 m 〕$ を求めたが，このページでは初速度の大きさ $v_{0} = 0 〔 m / s 〕$ ，時刻 $t 〔 s 〕$ が $0$ から $t$ まで等加速度直線運動したのときの移動距離 $Δ x 〔 m 〕$ と，初速度の大きさ $v_{0} 〔 m / s 〕$ ，時刻 $t 〔 s 〕$ が $t_{a}$ から $t_{b}$ まで等加速度直線運動したのときの移動距離 $Δ x 〔 m 〕$ の求め方を解説する．

初速度の大きさ $v_{0} = 0 〔 m / s 〕$ ，時刻 $t 〔 s 〕$ が $0$ から $t$ まで等加速度直線運動したのときの移動距離 $Δ x 〔 m 〕$ は，底辺を $t$ ，高さを $at$ とした三角形の面積を求める方法で導き出せる．

よって移動距離 $Δ x 〔 m 〕$ は

$Δ x = \frac{1}{2} a t^{2}$

さらに $x = x_{0} + Δ x$ より

$x = x_{0} + \frac{1}{2} a t^{2}$

初速度の大きさ $v_{0} 〔 m / s 〕$ ，時刻 $t 〔 s 〕$ が $t_{a}$ から $t_{b}$ まで等加速度直線運動したのときの移動距離 $Δ x 〔 m 〕$ は，上底を $a t_{a} + v_{0}$ 下底を $a t_{b} + v_{0}$ 高さを $t$ とした台形の面積を求める方法で導き出せる．

よって移動距離 $Δ x 〔 m 〕$ は

$\begin{array}{l} Δ x = \frac{(a t_{a} + a t_{b} + 2 v_{0}) t}{2} \\ = v_{0} t + \frac{t_{a} + t_{b}}{2} a t \end{array}$

さらに $x = x_{0} + Δ x$ より

$x = x_{0} + v_{0} t + \frac{t_{a} + t_{b}}{2} a t$

また別解として底辺を $t$ 高さを $(t_{b} - t_{a}) a$ とした三角形の面積と縦を $a t_{a} + v_{0}$ 横を $t$ とした長方形の面積を足す方法がある．

この場合の移動距離 $Δ x 〔 m 〕$ も

$\begin{array}{l} Δ x = (a t_{a} + v_{0}) t + \frac{t_{b} - t_{a}}{2} a t \\ = v_{0} t + \frac{2}{2} a t_{a} \cdot t + \frac{t_{b} - t_{a}}{2} a t \\ = v_{0} t + \frac{2 t_{a} + (t_{b} - t_{a})}{2} a t \\ = v_{0} t + \frac{t_{a} + t_{b}}{2} a t \end{array}$

さらに $x = x_{0} + Δ x$ より

$x = x_{0} + v_{0} t + \frac{t_{a} + t_{b}}{2} a t$

ホーム>>物理基礎>>第1編物体の運動とエネルギー>>第1章　物体の運動>>v-tグラフからxを求める方法

学生スタッフ作成

2016年3月28日

[ページトップ]

$金沢工業大学$

利用規約

google translate (English version)