微分の計算問題

■問題

次の条件式を満たす a b を求めよ.

y= e x + e 2x y +3a y +by=0

■答

a = 1 3 b =2

■ヒント

第2次導関数を求め,代入して解く.

■解説

y = e x + e 2 x

y = e x 2 e 2 x

y = e x + 4 e 2 x

これらを, y +3a y +by=0 に代入する.

( e x + 4 e 2 x ) + 3 a ( e x 2 e 2 x ) + b ( e x + e 2 x ) =0

e x + 4 e 2 x + 3 a e x 6 a e 2 x + b e x + b e 2 x =0

( 1+ 3 a + b ) e x + ( 4 6 a + b ) e 2 x =0

e x 0 e 2x 0 より上の方程式が変数 x に対して常に成り立つためには, e x e 2x の係数が0でなければならない. すなわち,連立方程式

{ 1+3a+b=0 46a+b=0

が成り立たなくてはならない.この連立方程式を解くと

a = 1 3 b = 2

となる.

 

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最終更新日: 2023年10月9日