微分の計算問題

■問題

次の条件式を満たす時,3次関数 f( x ) を求めよ.

f( 0 )=4 f( 1 )=10 f ( 2 )=23 f ( 3 )=22

■答

f ( x ) = x 3 +2 x 2 +3x+4

■ヒント

f( x )=a x 3 +b x 2 +cx+d とおく.

■解説

f ( x ) = a x 3 + b x 2 + c x + d

とおく.すると

f ( x ) = 3 a x 2 + 2 b x + c

f ( x ) = 6 a x + 2 b

となる.

題意より

f ( 0 ) = a · 0 3 + b · 0 2 + c · 0 + d = 4

f ( 1 ) = a · 1 3 + b · 1 2 + c · 1 + d = 10

f ( 2 ) = 3 a · 2 2 + 2 b · 2 + c = 23

f ( 3 ) = 6 a · 3 + 2 b = 22

の関係式が得られる.すなわち

{ d=4 a+b+c+d=10 12a+4b+c=23 18a+2b=22

の連立方程式が得られる.この連立方程式を解くと

a=1 b= 2 c=3 d=4

となる.したがって,求める3次関数 f ( x )

f ( x ) = x 3 + 2 x 2 + 3 x + 4

である.

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学生スタッフ作成

最終更新日: 2023年10月9日