フーリエ変換の問題

フーリエ変換の問題

■問題

次の関数 f( x ) が,偶関数か奇関数かを判断し,偶関数ならは関数 f( x ) フーリエ余弦変換 F x ( ω ) を,奇関数ならば関数 f( x ) フーリエ正弦変換 F s ( ω ) を求めよ.

f x = e x x<0 e x x0

■解答

F c ( ω )= 1 1+ ω 2 2 π

■解き方

f( x ) は偶関数である.よって,フーリエ余弦変換 F c ( ω ) を求める.

F c ( ω )= 2 π 0 f( x )cosωxdx

= 2 π 0 e x cosωxdx

I= 0 e x cosωxdx とおく.

I= 0 ( e x ) cosωxdx

部分積分法を用いている

= [ e x cosωx ] 0 0 ( e x )( ωsinωx )dx

=0+1ω 0 ( e x ) sinωxdx

=1ω{ [ e x sinωx ] 0 0 ( e x )ωcosωxdx }

=1ω{ 0+ω 0 e x cosωxdx }

=1 ω 2 I

よって

I=1 ω 2 I

( 1+ ω 2 )I=1

I= 1 1+ ω 2

したがって

F c ( ω )= 1 1+ ω 2 2 π

 

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最終更新日: 2023年7月6日