偏微分の基礎

偏微分の基礎

■問題

次の関数を偏微分せよ.

z= tan 1 x y

■答

z x = 1 2 x+y x y

z y = x y 2 x+y

■ヒント

合成関数の微分を用いて偏微分する.
微分の際は tan 1 x  の微分の公式を用いる.

定義域は, x y 0 より, x0 y>0 および x0 y<0 である.

■解説

z= tan 1 x y である. を以下のような合成関数と考える.

z= tan 1 u

u= v = v 1 2

v= x y

dz du du dv v x v y を計算する.

dz du = 1 1+ u 2

du dv = 1 2 v 1 2 = 1 2 v

v x = 1 y

v y = x y 2

以上より

z x = dz du du dv v x = 1 1+ u 2 1 2 v 1 y = 1 1+ x y 1 2 x y 1 y = 1 2 x+y x y

z y = dz du du dv v y = 1 1+ u 2 1 2 v x y 2 = 1 1+ x y 1 2 x y x y 2 = x y 2 x+y

となる.

【参考】

x0 y<0 の場合,以下の微分は注意が必要である.

x x y = x x y = x x y = 1 y 1 2 1 x 1 = 1 2 xy = 1 2 x y = 1 2 x y y y = 1 2 y x y = 1 2y x y

y x y = x x y = x x y = x 1 2 1 y y 1 = x 2y y = 1 2y x y = 1 2y x y x y x y = 1 2y x y 1 x y = x 2 y 2 x y

 

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最終更新日: 2023年9月5日