偏微分を含む証明

■問題

次のことを証明せよ.

z=f( x 2 y 2 ) ならば y z x +x z y =0

である.

■ヒント

z x y でそれぞれ偏微分し,2式を連立させる.

■解説

偏導関数の定義より, y を定数とみなして x 合成関数の微分を行う.

z x = f ( x 2 y 2 ) · 2 x

1 2 x · z x = f ( x 2 y 2 )

偏導関数の定義より, x を定数とみなして y で 合成関数の微分を行う.

z y = f ( x 2 y 2 ) · ( 2 y )

( 1 2 y ) · z y = f ( x 2 y 2 )

以上より

1 2 x · z x = ( 1 2 y ) · z y

1 2 x · z x + 1 2 y · z y = 0

両辺に 2xy をかける. 

y z x + x z y = 0

 

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学生スタッフ作成

最終更新日: 2023年8月24日