偏微分を含む証明

■問題

次のことを証明せよ.

z= 1 x f( y x ) ならば x z x +y z y +z=0 である.

■ヒント

z x,y でそれぞれ偏微分し,2式を連立させる. このとき,積の微分合成関数の微分を用いる.

■解説

u= y x とおくと

z= 1 x f( u ) u x = y x 2 u y = 1 x

偏導関数の定義より, y を定数とみなして x で微分する(ここを参照).

z x = x 1 x ·f u + 1 x · x f u

= x 1 x ·f u + 1 x · f u · u x

= 1 x 2 ·f y x + 1 x · f y x · y x 2

= 1 x 2 ·f( y x ) y x 3 · f ( y x )

より

z x 1 x 2 f ( y x ) = y x 3 f ( y x )

x 3 y · z x x y f ( y x ) = f ( y x )

偏導関数の定義より, x を定数とみなして y で微分する(ここを参照).

z y = y 1 x ·f u + 1 x · y f u

z y = y 1 x ·f u + 1 x · f u · u y

=0·f( u )+ 1 x · f ( y x )· 1 x

= 1 x 2 · f ( y x )

より

x 2 · z y = f ( y x )

以上から

x 3 y · z x x y f ( y x ) = x 2 · z y

x 3 y · z x + x 2 · z y + x y f ( y x ) = 0

両辺に y x 2 をかける.

x z x + y z y + 1 x f ( y x ) = 0

z = 1 x f ( y x ) を代入する.

x z x + y z y + z = 0

 

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学生スタッフ作成

最終更新日: 2023年8月25日