合成関数の偏微分

■問題

z=xy,x=2 t 2 +1,y= t 2 +3t+1 のとき, dz dt を求めよ.

■答

=8 t 3 +18 t 2 +6t+3

■ヒント

合成関数の偏微分の公式を用いて偏微分する.

■解説

x α の微分の公式より

dx dt =4t

dy dt =2t+3

偏導関数の定義より, y を定数とみなして x で微分すると,

z x = z x =y

偏導関数の定義より, x を定数とみなして y で微分すると,

z y = z y =x

合成関数の偏微分の公式より

dz dt = z x dx dt + z y dy dt

上で求めた式をそれぞれ代入すると,

=y( 4t )+x( 2t+3 )

= t 2 +3t+1 4t + 2 t 2 +1 2t+3

=4 t 3 +12 t 2 +4t+4 t 3 +6 t 2 +2t+3

=8 t 3 +18 t 2 +6t+3

 

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最終更新日: 2023年8月28日