合成関数の偏微分

■問題

z=f( x,y ) , x=ucosαvsinα , y=usinα+vcosα ならば

( z x ) 2 + ( z y ) 2 = ( z u ) 2 + ( z v ) 2

となることを示せ.

■ヒント

合成関数の偏微分の公式を用いて偏微分する.

●参考

x=ucosαvsinα , y=usinα+vcosα の変換を行列を使って表すと

x y = ucosαvsinα usinα+vcosα = cosα sinα sinα cosα u v

u v = cosα sinα sinα cosα 1 x y

= cosα sinα sinα cosα x y

= cos α sin α sin α cos α x y

杜なる.すなわち, x,y から u,v の変数変換は,幾何学的にいうと z 軸を回転の中心として原点を中心として α 回転したものになる.2次元回転行列を参照.

■解答

z u 合成関数の偏微分をすると

z v = f x x v + f y y v = f x cosα+ f y sinα

となる.

同様に, z v 合成関数の偏微分をすると

z v = f x x v + f y y v

= f x ( sinα )+ f y cosα

= f y cosα f x sinα

したがって

( z u ) 2 + ( z v ) 2

= ( f x cos α + f y sin α ) 2 + ( f y cos α f x sin α ) 2

= ( f x 2 cos 2 α + 2 f x f y sin α cos α + f y 2 sin 2 α ) + ( f y 2 cos 2 α 2 f x f y sin α cos α + f x 2 sin 2 α )

= f x 2 cos 2 α + 2 f x f y sin α cos α + f y 2 sin 2 α + f y 2 cos 2 α 2 f x f y sin α cos α + f x 2 sin 2 α

= ( sin 2 α + cos 2 α ) f x 2 + ( sin 2 α + cos 2 α ) f y 2

= f x 2 + f y 2

= ( z x ) 2 + ( z y ) 2

 

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学生スタッフ作成

2023年8月29日