偏微分の問題演習

偏微分

■問題

次の関数の第2次偏導関数を求めよ.

z=3x2y

■答

すべて 0

■ヒント

2次偏導関数 2 z x 2 2 z y 2 2 z yx 2 z xy の4つを求める.

z x z y を計算してから,それぞれを更に x y で偏微分する.

■解説

z x の計算

z=3x2y 偏導関数の定義より, y を定数とみなして x で微分する.

z x = x 3x2y =3  ・・・・・・(1)

z y の計算

z=3x2y 偏導関数の定義より, x を定数とみなして y で微分する.

z y = y 3x2y =2  ・・・・・・(2)

2 z x 2 の計算

(1)を更に, 偏導関数の定義より, y を定数とみなして x で微分する.

2 z x 2 = x z x = x 3=0

すなわち

2 x 2 =0

2 z y 2 の計算

(2)を更に, 偏導関数の定義より, x を定数とみなして y で微分する.

2 z y 2 = y z y = y 2=0

すなわち

2 z y 2 =0

2 z yx の計算

(1)を更に,偏導関数の定義より, x を定数とみなして y で微分する.

2 z yx = y z x = y 3=0

すなわち

2 z yx =0

2 z xy の計算

(2)を更に,偏導関数の定義より, y を定数とみなして x で微分する.

2 z xy = x z y = x 2=0

すなわち

2 z xy =0

 

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最終更新日: 2023年8月29日