合成関数の2次偏導関数

■問題

z=f( x,y ),x=rcosθ,y=rsinθ のとき

2 z x 2 + 2 z y 2 = 2 z r 2 + 1 r z r + 1 r 2 2 z θ 2

となることを示せ.

■ヒント

右辺を変形して左辺を導く.

x y r θ でそれぞれ2回偏微分する. 求めた式を 合成関数の1次偏導関数の公式合成関数の2次偏導関数の公式に 代入する.

■解説

x r 偏微分すると

x r = cos θ

となる.これを更に r 偏微分すると

2 x r 2 = r ( x r ) = r ( cos θ ) = 0

となる.

同様の手順で y r 偏微分を繰り返すと

y r = sin θ

2 y r 2 = r ( y r ) = r ( sin θ ) = 0

となる.

θ についても同様に偏微分すると

x θ = r sin θ

2 x θ 2 = θ ( x θ ) = θ ( rsinθ )=rcosθ

y θ = r cos θ

2 y θ 2 = θ ( y θ ) = θ ( rcosθ )=rsinθ

以上の結果と合成関数の1次偏導関数の公式合成関数の2次偏導関数の公式より

2 z r 2 = f x x ( x r ) 2 + 2 f x y x r y r + f y y ( y r ) 2 + f x 2 x r 2 + f y 2 y r 2

= f x x ( cos θ ) 2 + 2 f x y cos θ sin θ + f y y ( sin θ ) 2 + f x · 0 + f y · 0

= f x x cos 2 θ + 2 f x y sin θ cos θ + f y y sin 2 θ  ・・・・・・(1)

1 r z r = 1 r { f x x r + f y y r }

= 1 r { f x ( r cos θ ) + f y ( r sin θ ) }

= 1 r { r f x cos θ + r f y sin θ }

= f x cos θ + f y sin θ  ・・・・・・(2)

1 r 2 2 z θ 2 = 1 r 2 { f xx ( x θ ) 2 +2 f xy x θ y θ + f yy ( y θ ) 2 + f x 2 x θ 2 + f y 2 y θ 2 }

= 1 r 2 { f x x ( r sin θ ) 2 + 2 f x y ( r sin θ ) · r cos θ + f y y ( r cos θ ) 2 + f x · ( r 2 cos θ ) + f y · ( r 2 sin θ ) }

= 1 r 2 ( r 2 f x x sin 2 θ 2 r 2 f x y sin θ cos θ + r 2 f y y cos 2 θ r 2 f x cos θ r 2 f y s i n θ )

= f x x sin 2 θ 2 f x y sin θ cos θ + f y y cos 2 θ f x cos θ f y s i n θ  ・・・・・・(3)

したがって,(1),(2),(3)より

2 z r 2 + 1 r z r + 1 r 2 2 z θ 2

= ( f x x cos 2 θ + 2 f x y sin θ cos θ + f y y sin 2 θ ) + ( f x cos θ + f y sin θ )

+ ( f x x sin 2 θ 2 f x y sin θ cos θ + f y y cos 2 θ f x cos θ f y s i n θ )

= f x x ( cos 2 θ + sin 2 θ ) + f y y ( cos 2 θ + sin 2 θ )

= f x x + f y y

= 2 z x 2 + 2 z y 2

となり

2 z x 2 + 2 z y 2 = 2 z r 2 + 1 r z r + 1 r 2 2 z θ 2

が成り立つ.

 

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最終更新日: 2023年9月1日