2変数関数の極値

■問題

次の関数の極値を求めよ.

f( x,y )= x 2 +2 y 2 +10x

■答

( 5,0 ) で極小値 25 をとる.

■ヒント

2変数関数の極値の定理1を使用する.

与えられた関数を x,y でそれぞれ偏微分し,連立方程式

{ x f( x,y )=0 y f( x,y )=0

とし,その解 x,y = a,b を求める.

更に

2 x 2 f x,y = f xx x,y 2 y 2 f x,y = f yy x,y 2 yx f x,y = f xy x,y

をそれぞれ求め

A= f xx ( a,b ), D= { f xy ( a,b ) } 2 f xx ( a,b )· f yy ( a,b )

を計算して極値を判定する.

■解説

与式を x で偏微分(偏導関数の定義より, y を定数とみなして x で微分)すると

x f( x,y ) = x ( x 2 +2 y 2 +10x ) =2x+10

次に f( x,y ) y で偏微分(偏導関数の定義より, x を定数とみなして y で微分)すると

y f( x,y ) = y ( x 2 +2 y 2 +10x ) =4y

両者を連立させる.

{ 2x+10=0( 1 ) 4y=0( 2 )

(1)から

2x =10

x =5

(2)から

y=0

以上から極値をとる候補は ( 5,0 ) となる.

次に

2 x 2 f x,y = f xx x,y 2 y 2 f x,y = f yy x,y 2 yx f x,y = f xy x,y

をそれぞれ求める.

f xx x,y = 2 x 2 f( x,y ) = x ( x f( x,y ) ) = x ( 2x+10 ) =2

f yy x,y = 2 y 2 f( x,y ) = y ( y f( x,y ) ) = y ( 4y ) =4

f xy x,y = 2 yx f( x,y ) = y ( x f( x,y ) ) = y ( 2x+10 ) =0

以上から A,D を求めると

A = f xx 5,0 =2

D = f xy 5,0 2 f xx 5,0 · f yy 5,0 = 0 2 2·4 =8

となる.

A>0,D<0 より,点 ( 5,0 ) で極小となる.

この点での値は

f( 5,0 ) = ( 5 ) 2 +2· 0 2 +10·( 5 ) =25+050 =25

したがって,この関数は点 ( 5,0 ) で極小値 25 をとる.

 

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最終更新日: 2023年9月21日