2変数関数の極値

■問題

次の関数の極値を求めよ.

f( x,y )= x 2 2xy+3 y 2 4x+5y

■答

( 7 4 , 1 4 ) で極小値 33 8 をとる. 

■ヒント

2変数関数の極値の定理1を使用する.

与えられた関数を x,y でそれぞれ偏微分し,連立方程式

{ x f( x,y )=0 y f( x,y )=0

とし,その解 x , y = a , b を求める.

更に

2 x 2 f x,y = f xx x,y 2 y 2 f x,y = f yy x,y 2 yx f x,y = f xy x,y

をそれぞれ求め

A= f xx ( a,b ), D= { f xy ( a,b ) } 2 f xx ( a,b )· f yy ( a,b )

を計算して極値を判定する.

■解説

与式を x で偏微分(偏導関数の定義より, y を定数とみなして x で微分)すると

x f( x,y ) = x ( x 2 2xy+3 y 2 4x+5y ) =2x2y4

次に f( x,y ) y で偏微分(偏導関数の定義より, x を定数とみなして y で微分)すると

y f( x,y ) = y ( x 2 2xy+3 y 2 4x+5y ) =2x+6y+5

両者を連立させる.

{ 2x2y4=0( 1 ) 2x+6y+5=0( 2 )

(1)から

2x2y4 =0

xy2 =0

x =y+2  ・・・・・・(3)

これを(2)に代入する.

2( y+2 )+6y+5 =0

2y4+6y+5 =0

4y+1 =0

4y =1

y = 1 4

求めた y を(3)に代入する.

x = 1 4 +2 = 1+8 4 = 7 4

以上から極値をとる候補は ( 7 4 , 1 4 ) となる.

次に

2 x 2 f x,y = f xx x,y 2 y 2 f x,y = f yy x,y 2 yx f x,y = f xy x,y

をそれぞれ求める.

f xx x,y = 2 x 2 f( x,y ) = x ( x f( x,y ) ) = x ( 2x2y4 ) =2

f yy x,y = 2 y 2 f( x,y ) = y ( y f( x,y ) ) = y ( 2x+6y+5 ) =6

f xy x,y = 2 yx f( x,y ) = y ( x f( x,y ) ) = y ( 2x2y4 ) =2

以上から A,D を求めると

A = f xx 7 4 , 1 4 =2

D = f xy 7 4 , 1 4 2 f xx 7 4 , 1 4 · f yy 7 4 , 1 4 = ( 2 ) 2 2·6 =412 =8

となる.

A>0,D<0 より,点 ( 7 4 , 1 4 ) で極小となる.

この点での値は

f( 7 4 , 1 4 ) = ( 7 4 ) 2 2· 7 4 ·( 1 4 )+3· ( 1 4 ) 2 4· 7 4 +5·( 1 4 )

= 49 16 + 14 16 + 3 16 7 5 4

= 49+14+311220 16

= 66 16

= 33 8

従って,この関数は点 ( 7 4 , 1 4 ) で極小値 33 8 をとる.

 

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最終更新日: 2023年9月21日