2変数関数の極値

■問題

次の関数の極値を求めよ.

f( x,y )=4 x 2 +2xy+ y 2 +4x+4y

■答

( 0,2 ) で極小値 4 をとる.

■ヒント

2変数関数の極値の定理1を使用する.

与えられた関数を x,y でそれぞれ偏微分し,連立方程式

{ x f( x,y )=0 y f( x,y )=0

とし,その解 x , y = a , b を求める.

更に

2 x 2 f x,y = f xx x,y 2 y 2 f x,y = f yy x,y 2 yx f x,y = f xy x,y

をそれぞれ求め

A= f xx ( a,b ), D= { f xy ( a,b ) } 2 f xx ( a,b )· f yy ( a,b )

を計算して極値を判定する.

■解説

与式を x で偏微分(偏導関数の定義より, y を定数とみなして x で微分)すると

x f( x,y ) = x ( 4 x 2 +2xy+ y 2 +4x+4y ) =8x+2y+4

次に f( x,y ) y で偏微分(偏導関数の定義より, x を定数とみなして y で微分)すると

y f( x,y ) = y ( 4 x 2 +2xy+ y 2 +4x+4y ) =2x+2y+4

両者を連立させる.

{ 8x+2y+4=0( 1 ) 2x+2y+4=0( 2 )

(2)から

2x+2y+4 =0

x+y+2 =0

x =y2  ・・・・・・(3)

これを(1)に代入する.

8( y2 )+2y+4 =0

8y16+2y+4 =0

6y12 =0

6y =12

y =2

求めた y を(3)に代入する.

x =( 2 )2 =22 =0

以上から極値をとる候補は ( 0,2 ) となる.

次に

2 x 2 f x,y = f xx x,y 2 y 2 f x,y = f yy x,y 2 yx f x,y = f xy x,y

をそれぞれ求める.

f xx x,y = 2 x 2 f( x,y ) = x ( x f( x,y ) ) = x ( 8x+2y+4 ) =8

f yy x,y = 2 y 2 f( x,y ) = y ( y f( x,y ) ) = y ( 2x+2y+4 ) =2

f xy x,y = 2 yx f( x,y ) = y ( x f( x,y ) ) = y ( 8x+2y+4 ) =2

以上から A,D を求めると

A = f xx 0,2 =8

D = f xy 0,2 2 f xx 0,2 · f yy 0,2 = 2 2 8·2 =416 =12

となる.

A>0,D<0 より,点 ( 0,2 ) で極小となる.

この点での値は

f( 0,2 ) =4· 0 2 2·0·( 2 )+ ( 2 ) 2 +4·0 +4·( 2 )

=0+0+4+08

=4

従って,この関数は点 ( 0,2 ) で極小値 4 をとる.

 

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最終更新日: 2023年9月21日