2変数関数の極値

■問題

次の関数の極値を求めよ.

f( x,y )=xy( x2y3 )

■答

( 1, 1 2 ) で極大値 1 2 をとる. 

■ヒント

2変数関数の極値の定理1を使用する.

与えられた関数を x,y でそれぞれ偏微分し,連立方程式

{ x f( x,y )=0 y f( x,y )=0

とし,その解 x , y = a , b を求める.

更に

2 x 2 f x,y = f xx x,y 2 y 2 f x,y = f yy x,y 2 yx f x,y = f xy x,y

をそれぞれ求め

A= f xx ( a,b ), D= { f xy ( a,b ) } 2 f xx ( a,b )· f yy ( a,b )

を計算して極値を判定する.

■解説

与式を展開する.

f( x,y ) =xy( x2y3 ) = x 2 y2x y 2 3xy

これを x で偏微分(偏導関数の定義より, y を定数とみなして x で微分)すると

x f( x,y ) = x ( x 2 y2x y 2 3xy ) =2xy2 y 2 3y

次に f( x,y ) y で偏微分(偏導関数の定義より, x を定数とみなして y で微分)すると

y f( x,y ) = y ( x 2 y2x y 2 3xy ) = x 2 4xy3x

両者を連立させる.

{ 2xy2 y 2 3y=0( 1 ) x 2 4xy3x=0( 2 )

(1)は

2xy2 y 2 3y =0

y( 2x2y3 ) =0

となり, y=0 または 2x2y3=0 を満たせば良い.

同様に(2)も,

x 2 4xy3x =0

x( x4y3 ) =0

となり, x=0 または x4y3=0 を満たせば良い.

よってこの連立方程式の解は

(i) { y=0 x=0

(ii) { y=0 x4y3=0( 3 )

(iii) { 2x2y3=0( 4 ) x=0

(iv) { 2x2y3=0( 4 ) x4y3=0( 3 )

これら4組の連立方程式の解となる.

(i)の連立方程式の解は x,y = ( 0,0 )

(ii)の連立方程式の解は y=0 を(3)に代入して

x4·03 =0 x3 =0 x =3

よって, x,y = ( 3,0 )

(iii)の連立方程式の解は x=0 を(4)に代入して

2·02y3 =0 2y3 =0 2y =3 y = 3 2

よって, x,y = ( 0, 3 2 )

(iv)の連立方程式の解は(4)から

2x2y3 =0 2x =2y+3 x =y+ 3 2  ・・・・・・(5)

これを(3)に代入して

y+ 3 2 4y3 =0 3y+ 36 2 =0 3y 3 2 =0 3y = 3 2 y = 1 2

求めた y を(5)に代入して

x = 1 2 + 3 2 = 1+3 2 = 2 2 =1

よって,(i),(ii),(iii),(iv)より極値をとる候補は ( 0,0 )( 3,0 )( 0, 3 2 )( 1, 1 2 ) の4点となる.

次に

2 x 2 f x,y = f xx x,y 2 y 2 f x,y = f yy x,y 2 yx f x,y = f xy x,y

をそれぞれ求める.

f xx x,y = 2 x 2 f( x,y ) = x ( x f( x,y ) ) = x ( 2xy2 y 2 3y ) =2y

f yy x,y = 2 y 2 f( x,y ) = y ( y f( x,y ) ) = y ( x 2 4xy3x ) =4x

f xy x,y = 2 yx f( x,y ) = y ( x f( x,y ) ) = y ( 2xy2 y 2 3y ) =2x4y3

x,y = a,b における A D の値は

A = f xx ( a,b ) =2b

D = { f xy ( a,b ) } 2 f xx ( a,b )· f yy ( a,b ) = ( 2a4b3 ) 2 2b·( 4a )

= ( 2a4b3 ) 2 +8ab

これを元に各点における A,D を求める.

●点 ( 0,0 ) においては

A =2·0 =0

D = ( 2·04·03 ) 2 +8·0·0 = ( 3 ) 2 +0 =9

D>0 となり ( 0,0 ) は極値ではない.

●点 ( 3,0 ) においては

A =2·0 =0

D = ( 2·34·03 ) 2 +8·3·0 = ( 63 ) 2 +0 = 3 2 =9

D>0 となり ( 3 ,0 ) は極値ではない.

●点 ( 0, 3 2 ) においては

A =2·( 3 2 ) =3

D = { 2·04·( 3 2 )3 } 2 +8·0·( 3 2 ) = ( 63 ) 2 0 = 3 2 =9

D>0 となり ( 0, 3 2 ) は極値ではない.

●点 ( 1, 1 2 ) においては

A =2·( 1 2 ) =1

D = { 2·14·( 1 2 )3 } 2 +8·1·( 1 2 ) = ( 2+23 ) 2 4 = ( 1 ) 2 4 =14 =3

となり, A<0,D<0 より点 ( 1, 1 2 ) で極大となる.

この点での値は

f( 1, 1 2 ) =1·( 1 2 ){ 12·( 1 2 )3 } = 1 2 ( 1+13 ) = 1 2 ·( 1 ) = 1 2

以上からこの関数は点 ( 1, 1 2 ) で極大値 1 2 をとる.

 

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最終更新日: 2023年9月21日